Поступательное движение под переменной силой
| English | Русский |
|---|---|
| drag/dræɡ/ | drag (перетирание) |
| position/pəˈzɪʃn/ | положения |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | цепное правило |
| separable/ˈsepərəbl/ | разделяемое |
| separate/ˈseprət/ | разделить |
| integrate/ˈɪntɪɡreɪt/ | интегрируете |
| boundary condition/ˈbaʊndəri kənˈdɪʃn/ | граничное условие |
Когда сила постоянно изменяется
- Гравитация вблизи Земли примерно постоянна, но притяжение планеты, сопротивление воздуха автомобиля или магнитная сила меняются в зависимости от положения.
- Сила, зависящая от положения, требует более сложной формы закона Ньютона.
Ускорение как функция положения
- Когда сила (и, следовательно, ускорение) зависит от положения $x$, перепишите ускорение как:
- Это следует из правила дифференцирования сложной функции: $\dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx}\dfrac{dx}{dt} = v\dfrac{dv}{dx}$.
Когда сила зависит от положения, совершенная работа равна площади под графиком F–x
Работа переменной силы
W = ∫ F dx
Когда сила изменяется, совершенная работа равна площади под графиком зависимости силы от расстояния.
Когда сила зависит от координаты x, ускорение удобнее всего записать как:
a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx — удобно, когда сила зависит от x.
Тождество a = v dv/dx следует из правила ______.
dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v dv/dx по правилу цепного дифференцирования.
Преобразование F = ma в дифференциальное уравнение
- Подстановка дает $F(x) = mv\dfrac{dv}{dx}$ — разделяемое дифференциальное уравнение, связывающее $v$ и $x$.
- Разделите переменные ($v\,dv$ с одной стороны, $x$ с другой) и интегрируйте.
Когда использовать какую форму. Сила зависит от времени → используйте $a = \dfrac{dv}{dt}$. Сила зависит от положения → используйте $a = v\dfrac{dv}{dx}$. Выбор правильной формы — это половина дела.
Подстановка a = v dv/dx в F = ma дает дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно v и x.
F(x) = mv dv/dx разделяется на v dv и выражение по x, после чего можно проинтегрировать.
Если же сила зависит от времени t, естественной формой для ускорения является:
Зависящая от времени сила → a = dv/dt; зависящая от положения → a = v dv/dx.
Метод решения
-
- Запишите $F = ma$ с $a = v\dfrac{dv}{dx}$.
-
- Разделите переменные: соберите члены с $v$ вместе с $dv$, а члены с $x$ вместе с $dx$.
-
- Проинтегрируйте обе части, затем примените граничные условия для нахождения $v$ как функции от $x$.
- Когда сила зависит от положения, рассматривайте её как переменную силу с $a=v\,dv/dx$.
Расставьте шаги решения задачи о движении под действием силы, зависящей от положения, в правильном порядке.
Составьте уравнение с v dv/dx, разделите переменные, проинтегрируйте и используйте условия для определения константы.
Вы поняли
- Для силы, зависящей от положения, используйте $a = v\dfrac{dv}{dx}$ (из правила дифференцирования сложной функции)
- это делает $F = ma$ разделимым дифференциальным уравнением относительно $v$ и $x$
- разделите и интегрируйте, чтобы найти $v$ как функцию от $x$