Электроника I

Это пятый курс по электротехнике университета: электроника I — первый курс по устройствам. Волна 1 и EE04 анализировали цепи из идеальных компонентов; здесь самими компонентами является предметом изучения, а ключевым навыком является моделирование: выбор наиболее простой модели устройства, которая отвечает на поставленный вопрос.

• Раздел 5.1 знакомит с полупроводниками и лестницей моделей диода.
• Раздел 5.2 применяет диоды: выпрямители, источники питания и стабилитронные регуляторы.
• Модули 5.3–5.4 задают режим смещения для двух семейств транзисторов (БТ, МОП).
• Модуль 5.5 линейализует работу относительно точки смещения: усилители малых сигналов.
• Модули 5.6–5.7 добавляют обратную связь и частотный анализ.

Привычка к проверке: каждая точка смещения проверяется по рабочим областям устройства (допущение, сделавшее уравнение корректным), каждый ответ малых сигналов — предельный случай. Каждый раздел завершается типичными ошибками и трёхстрочной сводкой. ошибки и трехстрочное резюме.

Чистый кремний проводит ток плохо; легирование добавляет носители заряда — доноры создают n-тип (электроны), акцепторы создают p-тип (дырки). PN-переход проводит ток в одном прямое смещение (сторона p положительна) позволяет току течь экспоненциально; обратное смещение расширяет область обеднения и блокирует.

У диода есть иерархия моделей — выберите по условию задачи:

• Идеальная: 0 В при проводимости, разомкнута в выключенном состоянии.
• С постоянным падением: 0.7 В при проводимости (кремний).
• Кусочно-линейная: 0.7 В + сопротивление наклонного участка $r_{d} = nV_{T}/I_{D}$.
• Экспоненциальный закон Шокли $i = I_{S}(e^{v/nV_{T}} - 1)$, когда форма кривой имеет значение, при $V_{T} = kT/q \approx 26$ мВ в комнатной температуре.

Почему схема работает: дифференцируем закон Шокли в рабочей точке и динамическое сопротивление диода составляет $r_{d} = nV_{T}/I_{D}$ — несколько Ом при миллиамперах. И поскольку $i \propto e^{v/nV_{T}}$, для десятикратного увеличения тока требуется всего $\ln 10 \times nV_{T} = 2.303 \times 26 = 59.9$ мВ дополнительного напряжения (n = 1): кривая представляет собой почти вертикальную стену, поэтому резистор в цепи, а не диод, определяет ток — именно тогда модель постоянного падения напряжения является точной.

Нагрузочная прямая фиксирует ток; крутая кривая диода слабо влияет на напряжение

Разобранный пример 1 (выбор модели, три способа). Источник 5 В питает диод последовательно со 1 кОм. Идеальный: 5 мА. Модель постоянного падения: $(5 - 0.7)/1000 = 4.3$ мА. Точное решение по Шокли ($I_{S} = 10^{-12}$ А, $nV_{T} = 26$ мВ, бисекция на $I_{S}(e^{v/26\mathrm{m}} - 1) = (5 - v)/1000$): $v_{D} = 0.5775$ V, $i = 4.423$ мА. Ответ по модели постоянного падения укладывается в 2.8% — потому что резистор доминирует в контуре. Проверьте почему: модель постоянного падения дает отклонение на $0.7 - 0.5775 = 0.12$ В в напряжении диода, а резистор превращает это в только $0.12/1000 = 0.12$ мА ошибки тока — 2.8% от 4.42 мА.

**Разобранный пример 2 (динамическое сопротивление, углублённый разбор). В этой рабочей точке $r_{d} = nV_{T}/I_{D} = 26\,\mathrm{mV}/4.42\,\mathrm{mA} = 5.9\ \Omega$. Теперь пусть источник колеблется на $\pm 0.1$ В (малый сигнал): ток колебания равен $0.1/(1000 + 5.9) = 99.4\ \mu\mathrm{A}$ — в пределах 0.6% от резистора-только 100 µA. The 5 V worth of DC sits across the pair almost unchanged; the 0.1 V of signal sees an ordinary $1\ \mathrm{k}\Omega + 5.9\ \Omega$ loop. This is the whole small-signal idea of unit 5.5, met first at the diode: split the problem into смещение (где нелинейный закон устанавливает рабочую точку) и колебание (где вступает в силу линеаризованное сопротивление).

Распространенные ошибки. Использование экспоненциальной модели, когда доминирует сопротивление (бесполезное деление пополам; там правильным инструментом является модель с постоянным падением напряжения). Quoting "$r_d$ = 26 mV" — that is $V_T$; the resistance is $V_T/I_D$, current in the denominator. Forgetting n = 2 at high current (59.9 mV/decade becomes 120 mV/decade).

Краткий итог: диод — это односторонний клапан с почти вертикальной прямой характеристики; петлевое loop resistor sets the current; $r_d = nV_T/I_D$ is the linearised view; pick модель, которую требует вопрос, и проверьте ответ следующей более точной моделью.

Полуволновой выпрямитель проводит одну полуволну; полноволновая мостовая схема проводит обе (четыре диода, одновременно работают два, поэтому мост** проводит оба (четыре диода, два проводящих одновременно, поэтому мост diode drops cost 1.4 V and each diode must survive a peak inverse voltage равное одному пиковому значению вторичной обмотки). Фильтрующий конденсатор удерживает выходное напряжение между пиками: пульсация $\Delta V \approx I_{load}/(f\cdot C)$ (полуволновое) или $I_{load}/(2f\cdot C)$ (полноволновое) — конденсатор должен обеспечивать нагрузку на всём промежутке между пиками подзарядки.

Разобранный пример 1 (питание от моста, проверено). Мост выпрямляет переменное напряжение 12 В RMS, 50 Hz secondary; the load draws 100 mA and the capacitor is 2200 µF. Peak output: $12\sqrt{2} - 1.4 = 17.0 - 1.4 = 15.6$ V. Ripple (full wave, recharged every 10 ms): $\Delta V = 0.1/(100 \times 2200\mu) = 0.455$ V. So the output lives between 15.6 and 15.1 V. Checks: ripple ≪ peak (2.9% ✓ — the formula's premise); half-wave would double the ripple to 0.91 V for the same capacitor — the bridge buys a 2× for four diodes; PIV per diode ≈ 17.0 V (one пик вторичного напряжения) — выбирайте диоды с запасом по этому параметру.

Worked example 2 (a zener regulator designed at both extremes, escalated). Regulate 12 V down to 5.1 V with a 5.1 V zener; the load varies 0–10 mA and the zener needs at least 2 mA to stay in breakdown. Worst case for the zener current is full load: $R \le (12 - 5.1)/(10\mathrm{m} + 2\mathrm{m}) = 575\ \Omega$ → pick 560 Ω. Now check the other extreme — no load: $I_{Z} = (12 - 5.1)/560 = 12.3$ mA, so $P_{Z} = 5.1 \times 12.3\mathrm{m} = 63$ мВт, а резистор рассеивает $(12-5.1)^{2}/560 = 85$ мВт в наихудшем случае. Полная нагрузка дает $I_{Z} = 12.3 - 10 = 2.3$ мА ≥ 2 мА ✓. Оба предельных значения проверены — это полное проект стабилизатора: одно неравенство для каждого конца диапазона нагрузки.

Типичные ошибки. Использование f вместо 2f для пульсаций выпрямителя (конденсатор зарядирование конденсатора каждые полупериод). Забыв о падении напряжения 1.4 В на двух диодах пиковом выходном сигнале. Выбор резистора стабилитрона только по типичной нагрузке — ток через стабилитрон необходимо проверить при ОБОИХ предельных значениях, а его мощность — при пределе без нагрузки.

Резюме: мостовая схема использует оба полупериода, падение напряжения на diode = 1.4 В, PIV равен одному пиковому значению; пульсации $I/(2fC)$ определяются интервалом между перезарядками; стабилитрон удерживает напряжение, пока последовательный резистор гасит избыток — рассчитывается по двум предельным значениям нагрузки.

Биполярный транзистор имеет три области — отсечка, активный (область усиления: $I_C = \beta I_B$, $V_{BE} \approx 0.7$ В), и насыщение ($V_{CE} < 0.2$ В, оба перехода смещены напрямую). Смещение означает размещение рабочей точки (точка смещения, Q-point) надежно в активной области и обеспечение её независимости от β — параметра, который изменяется 2:1 между устройствами одного номинала.

Разобранный пример 1 (смещение делителем напряжения, точный). $V_{CC} = 12$ В; $R_{1} = 68$ кОм (к $V_{CC}$), $R_{2} = 12$ кОм (к земле), $R_{C} = 2.2$ кОм, $R_{E} = 1$ кОм, $\beta = 100$. Преобразуем делитель по Тевенену: $V_{B} = 12 \times 12/80 = 1.8$ V, $R_{B} = 68\mathrm{k} \parallel 12\mathrm{k} = 10.2$ кОм. Быстрая оценка (пренебрегаем током базы): $V_{E} = 1.8 - 0.7 = 1.1$ В → $I_{E} \approx 1.1$ мА. Точный расчёт (контур базы с $I_E = (\beta+1)I_B$): $I_B = (1.8 - 0.7)/(10.2\mathrm{k} + 101 \times 1\mathrm{k}) = 9.9\ \mu$A → $I_C = 0.989$ мА, $V_{CE} = 12 - 0.99\mathrm{m} \times 2.2\mathrm{k} - 0.99 = 8.8$ V — active ✓ ($V_{CE} \gg 0.2$ В). Быстрая оценка была завышена на 11%; виновником является нагрузка делителя током базы — именно это и учитывает точный контур. учитывает.

Разобранный пример 2 (β удвоен, точка схемы, усилено). То же цепь, $\beta = 200$: $I_B = 1.1/(10.2\mathrm{k} + 201\mathrm{k}) = 5.2\ \mu$A → $I_C = 1.04$ mA, $V_{CE} = 8.7$ V — всё ещё активен ✓. Значит β × 2 изменил ток коллектора на 5% (0.99 → 1.04 мА), а рабочая точка едва сдвинулась. Механизм: любой рост тока коллектора повышает напряжение эмиттера (устраняется более жёстким делителем), $V_{BE}$% от разброса коэффициента усиления β (компенсируется схемой). обратная связь внутри смещения, обеспечиваемая $R_E$. При $R_E = 0$ рабочая область формула $I_C = \beta(1.8 - 0.7)/10.2\mathrm{k}$ предсказывает 10.8 мА при β = 100 и 21.6 мА при β = 200. Коллекторный резистор 2.2 кОм не может пропустить ни один из этих токов от источника 12 В, поэтому предположение о рабочей области неверно: это лишь кандидаты, а не реальные токи насыщения. Чувствительность формулы к β все еще очевидна, однако проверка области должна предшествовать принятию точки покоя. Теперь обе ошибки количественно определены: 11% от делителя делителя (устраняется более жёстким делителем), 5% от разброса β (поглощается $R_E$).

Распространённые ошибки. Проверка $V_{CE} > 0$ вместо $> 0.2$ В (насыщение начинается примерно с 0.2 В). Вычисление $V_C$ по оценочному току 1.1 мА и последующее "проверка" по рабочей точке, вычисленной по точному значению тока — используйте одну схему, затем проверьте её. Убеждение в том, что только делитель делает смещение независимым от β — это $R_E$ (при достаточной жесткости делителя для удержания $V_B$) что выполняет работу.

Резюме: разделим делитель по Теорему Тевенена, решим базовый контур точно, проверим режим; $R_E$ обеспечивает независимость от β ценой запаса напряжения; оценка-затем-проверка — хороший метод, когда оба обозначены соответствующим образом.

MOSFET управляется напряжением: затвор не потребляет постоянного тока, а в насыщении (режим усилителя — это противоположное название по сравнению с BJT!) квадратичная модель дает

с пороговым $V_t$. Три режима: отсечка ($v_{GS} < V_t$), триодный/омический ($v_{DS} < v_{GS} - V_t$ — резистор, не усилитель), насыщение (неравенство выполняется — источник тока).

Разобранный пример 1 (предположим насыщение, затем проверим). $V_{DD} = 10$ В, $\tfrac{1}{2}k_n(W/L) = 0.5$ мА/В², $V_t = 1.5$ В, $R_D = 3$ кОм, затвор удерживается на $V_G = 3$ В (делитель — нет постоянного тока затвора). Предположим насыщение: $I_D = 0.5 \times (3 - 1.5)^{2} = 1.125$ мА; $V_{DS} = 10 - 1.125\mathrm{m} \times 3\mathrm{k} = 6.6$ V. Check: $6.6 \ge 3 - 1.5 = 1.5$ ✓ — насыщение остается неизменной, а рабочая точка составляет (1.125 мА, 6.6 В).

Разобранный пример 2 (проверка, которая не проходит, эскалация). Увеличьте напряжение на затворе до $V_G = 5$ В, та же цепь. Предположим насыщение: $I_D = 0.5 \times 3.5^{2} = 6.1$ mA, $V_{DS} = 10 - 6.1\mathrm{m} × 3\mathrm{k} = -8.4$ В — невозможно (отрицательное напряжение на стоке), значит предположение неверно: резистор не может опустить 18 В от источника 10 В. Решаем снова в линейном режиме с $i_D = 0.5(2 \times 3.5\, v_{DS} - v_{DS}^{2})$ и нагрузочной прямой $10 = 3\mathrm{k}\, i_D + v_{DS}$: квадратное уравнение дает $v_{DS} = 1.00$ В, $i_D = 3.00$ мА. Проверки: область $1.0 < 3.5$ ✓ триодная; уравнение триодного режима дает $0.5(2 \times 3.5 \times 1 - 1) = 3.0$ мА ✓ согласуется с нагрузочной прямой; а при насыщении при таком напряжении на затворе потребовалось бы 18.4 В питания. Из этого вывод обобщается: модель — это допущение, проверку области действия, которая делает его правомерным.*

Распространённые ошибки. Доверие току насыщения без проверки области насыщение = усилитель; BJT насыщение = разрушение). Забыть, что ток затвора равен нулю в режиме постоянного тока — делитель напряжения не нагружен, именно поэтому делители на MOSFET могут использовать мегаомные резисторы. проверка $V_{DS} > 0$). Перепутаны названия областей с BJT (MOSFET насыщение = усилитель; насыщение BJT = разрушение). Забыв про затвор ток равен нулю в режиме постоянного тока — делитель не нагружен, что именно поэтому делители на MOSFET могут использовать мегаомные резисторы.

Резюме: квадратичная зависимость в насыщении, граница $v_{DS} = v_{GS} - V_t$ является проверкой; делаем предположение, решаем, проверяем — и когда проверка проваливается, вступает в силу квадратное уравнение для линейного режима; ток затвора равен нулю в режиме постоянного тока. берёт управление; ток затвора равен нулю в режиме постоянного тока.

Усиление линейно только относительно точки смещения (Q-точки элемента 5.3). Модель малого сигнала заменяет каждый элемент его линеаризованными параметрами в этой точке: BJT — $g_m = I_C/V_T$ (дифференцируйте экспоненту), $r_\pi = \beta/g_m$, $r_o$; MOSFET — $g_m = k(W/L)(V_{GS} - V_t) = 2I_D/(V_{GS} - V_t)$ (differentiate the square law), $r_o$. Источники постоянного тока становятся короткими замыканиями; разделительные конденсаторы становятся короткими замыканиями на частоте сигнала.

Разборный пример 1 (каскад с общим эмиттером). В точке смещения элемента-5.3 $I_C = 0.99$ мА, $\beta = 100$ В: $g_m = 0.99\mathrm{m}/26\mathrm{m} = 38.1$ мС; $r_\pi = 100/38.1\mathrm{m} = 2.6$ кОм. Коэффициент усиления напряжения при зашунтированном $R_E$ и $r_o = 50$ кОм: $A_v = -g_m(R_C \parallel r_o) = -38.1\mathrm{m} \times 2.11\mathrm{k} = -80$. Limiting checks: $r_o \to \infty$ gives $-g_m R_C = -84$ (r_o стоит 5%); а коэффициент усиления должен быть отрицательным — каскад с общим эмиттером инвертирует сигнал.

Разборный пример 2 (дегенерация и сравнение с MOSFET, усложнённый вариант). Поднимите шунтирующий конденсатор, чтобы $R_E = 1$ кОм участвовал: точный коэффициент усиления $-g_m R_C/(1 + g_m R_E) = -84/(1 + 38.1) = -2.14$, against the $-R_C/R_E = -2.2$ textbook form — within 2.4% because $g_m R_E = 38 \gg 1$ (это и есть условие применимости формулы, теперь видимое). Дегенерация обменяла 84 на 2.2 — линейность и стабильный коэффициент усиления, купленные за тот же $R_E$, который стабилизировал bias. Same story in MOSFET land: the unit-5.4 Q-point gives $g_m = 2I_D/V_{ov} = 2 \times 1.125\mathrm{m}/1.5 = 1.5$ мС и коэффициент усиления по напряжению для схемы с общим истоком $-g_m R_D = -4.5$. The BJT at the same 1.125 mA has $43.3$ mS — 29× the MOSFET — перекрестная проводимость и коэффициент усиления тока против бесконечного входного сопротивления: фундаментальный компромисс.

Типичные ошибки. Вычисление $g_m$ по оценочному току смещения после того, как существует точное решение — одна цепь, один набор параметров. Использование точный расчёт существует — одна цепь, один набор параметров. Используя $-R_C/R_E$ вместо $g_m R_E \sim 1$ (формуле нужны $g_m R_E \gg 1$). Верить, что модель малых сигналов — это другая схема — это та же самая схема, дифференцированная в рабочей точке.

$g_m$; BJT выигрывает по значению gm на миллиампер, а MOSFET выигрывает за счет затвора. $r_\pi = \beta/g_m$; усиление с шунтированием $-g_m R_C$, дегенерированное $-R_C/R_E$ при $g_m R_E \gg 1$; BJT побеждает по g_m на миллиампер, а MOSFET побеждает благодаря затвору.

Волна 1' золотые правила возвращаются с учётом конечного усиления. Отрицательная обратная связь таким образом, ответ золотого правила является точным в пределе $A_{OL}\beta_{fb}$ Вывод (инвертирующий каскад): если ОУ может удерживать $v_- \approx v_+$, то входной резистор несёт $(v_{in} - 0)/R_{in}$, обратный резистор несёт тот же ток и $v_o = -R_f v_{in}/R_{in}$. Запись точного уравнения узла с разомкнутым усилением $A_{OL}$ и решение дают

так что ответ по «золотому правилу» точен в пределе $A_{OL}\beta_{fb} \to \infty$ и на множитель $1/(1 + A_{OL}\beta_{fb})$ в реальной жизни.

Разобранное решение 1 (четыре топологии и GBW). Инвертирующий $-R_f/R_{in}$ (входное сопротивление $R_{in}$); неинвертирующий $1 + R_f/R_{in}$ (входное сопротивление → ∞); трансимпедансный $v_o = -I_p R_f$ (photodiode: $2\ \mu\mathrm{A} \times 1\ \mathrm{M}\Omega = 2$ V); summing $-(v_1 R_f/R_1 + v_2 R_f/R_2)$. An op-amp with gain-bandwidth product GBW = 1 MHz at closed-loop 40 dB (100×) has bandwidth 10 kHz; at 20 dB (10×), 100 kHz ✓ (the product stays 1 MHz along the гиперболы).

Worked example 2 (how wrong the golden rules are, escalated). The $1/(1 + A_{OL}\beta_{fb})$ error factor, computed. Closed-loop gain 100 ($\beta_{fb} = 0.01$): with $A_{OL} = 10^{5}$, $A_{CL} = 100/(1 + 1/1000) = 99.90$ — a 0.1% error, invisible on a scope. With a tired or high-frequency op-amp where $A_{OL}$ has fallen to $10^{3}$ (remember unit 5.7: the open-loop gain is already rolling off): $A_{CL} = 100/1.1 = 90.9$ — a 9.1% Таким образом, золотые правила — это утверждение о петлевом усилении: там, где петлевое усиление велико, они точны, а около угловой частоты тихо затухают. Проверка: на 10 kHz with GBW 1 MHz the open-loop gain has fallen to $10^{6}/10^{4} = 100$ — равен коэффициенту усиления в замкнутом контуре, петлевому усилению 1, и действительно составляет −3 дБ угол пересечения, найденный в примере 1.

Типичные ошибки. Использование формулы для инвертирующего каскада при расчете неинвертирующего ($1 + R_f/R_{in}$ отличается ровно на 1 — при единичном усилении это всё). Забывание о резисторе обратной связи трансимпедансного каскада задает усиление от тока, поэтому емкость фотодиода по-прежнему формирует шумовой коэффициент усиления.

Резюме: петлевое усиление $A_{OL}\beta_{fb}$ является эталоном точности для золотых правил; ошибка $= 1/(1 + A_{OL}\beta_{fb})$; GBW представляет собой гиперболу — произведение усиления в замкнутом контуре на полосу пропускания сохраняется до угла пересечения, где правила перестают работать.

Любой усилитель является полосовым фильтром: разделительные конденсаторы задают нижний угол пересечения $f_L = 1/(2\pi R_{eq}C)$ для каждого каскада ($R_{eq}$ = то, что видит конденсатор при заземленных источниках), а в верхней части спектра емкость Миллера вместе с внутренними полюсами берут управление. Вывод Миллера: конденсатор $C$ от выхода ко входу инвертирующего каскада с усилением $-A$ создает эффект $i = C\,d(v_{in} - v_o)/dt = C(1 + A)\,dv_{in}/dt$ — the input node behaves as if it saw $C_M = C(1 + A)$ to ground. The dominant pole приближение: один полюс обеспечивает большую часть спада, $f_H \approx 1/(2\pi R_{eq}C_{eq})$.

Разобранный пример 17 (полоса пропускания с обоими углами пересечения). Биполярный транзистор CE с единичным

Worked example 1 (the full band-pass, both corners). The unit-5.5 CE уровень: разделительный конденсатор видит $R_{eq} = R_B \parallel r_\pi = 10.2\mathrm{k} \parallel 2.6\mathrm{k} = 2.08$ kΩ, so a 10 µF coupling gives $f_L = 1/(2\pi \times 2.08\mathrm{k} \times 10\mu) = 7.7$ Hz. High end: $C_{gb} = 5$ pF between base and collector where the stage gain is −80: $C_M = 5\mathrm{p} \times 81 = 405$ pF, plus 20 pF of stray → $f_H = 1/(2\pi \times 2\mathrm{k} \times 425\mathrm{p}) = 187$ kHz. The stage passes 7.7 Hz to 187 kHz at gain −80. Checks: the coupling cap sees the parallel combination (sources zeroed), not the sum — the classic $f_L$ slip; and the −80 inside the Miller factor is the mid-band gain, already falling near $f_H$ — the dominant-pole answer is optimistic by a few percent, the honest значение.

Worked example 2 (the cascode and the cascade, escalated). A cascode holds the collector nearly constant, killing the gain across the 5 pF: $f_H = 1/(2\pi \times 2\mathrm{k} \times 25\mathrm{p}) = 3.18$ MHz — 17× для одного транзистора: Миллер объясняет проблему и её решение. Cascade instead: two identical 187 kHz stages in series are each 3 dB down там, поэтому пара ослаблена на 6 дБ — общая точка −3 дБ находится при $187 \times \sqrt{2^{1/2} - 1} = 120$ kHz. A multistage amplifier pays for своё усиление дважды — один раз в Миллере, другой раз в каскаде.

Распространённые ошибки. Сложение вместо параллельного соединения сопротивлений при вычислении что видит разделительный конденсатор; указание углового значения для каждой ступени как системного углового значения (каскад уменьшает его на $\sqrt{2^{1/n} - 1}$).

Резюме: $f_L$ от разделительных конденсаторов при нулевом сопротивлении источника; эффект Миллера умножает на $(1 + |A|)$; каскодная схема устраняет его; каскады уменьшают угловые значения на $\sqrt{2^{1/n} - 1}$.