Trigonometry in right-angled triangles · Trigonometria em triângulos retângulos
| English | Português |
|---|---|
| trigonometry/ˌtrɪɡəˈnɒmətri/ | trigonometria |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | oposto |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | adjacente |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | ângulo de elevação |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | ângulo de depressão |
How tall is that tree?
- You can't climb it with a tape measure. But standing $10$ m away and looking up at $50^{\circ}$, trigonometry 三角学 gives you the height: $10 \times \tan 50^{\circ} \approx 11.9$ m.
- Trigonometry measures the unmeasurable — using angles and one known length.
Qual a altura dessa árvore?
- Você não pode escalá-la com uma fita métrica. Mas, posicionado $10$ m de distância e olhando para cima em $50^{\circ}$, a trigonometria fornece a altura: $10 \times \tan 50^{\circ} \approx 11.9$ m.
- Trigonometria mede o inmensurável — usando ângulos e um comprimento conhecido.
Naming the sides
- In a right-angled triangle, name the sides relative to the angle $\theta$:
- Opposite 对边 (O): the side across from $\theta$.
- Adjacent 邻边 (A): the side next to $\theta$ (not the hypotenuse).
- Hypotenuse (H): the longest side, opposite the right angle.
SOH-CAH-TOA: the three ratios that connect angles to side lengths in right-angled triangles.
Nomeando os lados
- Em um triângulo retângulo, nomeie os lados em relação ao ângulo $\theta$:
- Oposto (O): o lado oposto a $\theta$.
- Adjacente (A): o lado adjacente a $\theta$ (não a hipotenusa).
- Hipotenusa (H): o lado mais longo, oposto ao ângulo reto.
SOH-CAH-TOA: as três razões que conectam ângulos aos comprimentos dos lados em triângulos retângulos.
Right-angled trig · Trigono metria retângulo
(cos θ, sin θ)
SOHCAHTOA comes from this circle — sin · seno, cos and · e tan of the angle. · SOHCAHTOA vem deste círculo — sin · seno, cos e tan do ângulo.
The three ratios — SOH CAH TOA
- To find a side: use the ratio and multiply/divide.
- To find an angle: use the inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Opposite $4$, adjacent $3$: $\;\tan\theta = \dfrac{4}{3}$, so $\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}$.
Looking up at a tower involves an angle of elevation 仰角
As três razões — SOH CAH TOA
- Para encontrar um lado: use a razão e multiplique/divida.
- Para encontrar um ângulo: use o inverso ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Oposto $4$, adjacente $3$: $\;\tan\theta = \dfrac{4}{3}$, logo $\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}$.
Olhar para cima em direção a uma torre envolve um ângulo de elevação
In a right-angled triangle the hypotenuse is 10 cm and the angle is 30°. The opposite side = 10 × sin 30°. Find it (cm). · Em um triângulo retângulo a hipotenusa é 10 cm e o ângulo é 30°. O lado oposto = 10 × sin 30°. Encontre-o (cm).
10 × sin 30° = 10 × 0.5 = 5 cm.
The opposite side is 4 cm and the adjacent side is 3 cm. Find the angle (degrees, 1 dp). · O lado oposto é 4 cm e o lado adjacente é 3 cm. Encontre o ângulo (graus, 1 casa decimal).
tan θ = 4/3, so θ = tan⁻¹(4/3) = 53.1°. · tan θ = 4/3, então θ = tan⁻¹¹(4/3) = 53.1°.
The adjacent side is 8 cm and the angle is 60°. The hypotenuse = 8 / cos 60°. Find it (cm). · O lado adjacente é 8 cm e o ângulo é 60°. A hipotenusa = 8 / cos 60°. Encontre-a (cm).
cos 60° = 0.5, so hyp = 8 / 0.5 = 16 cm. · cos 60° = 0.5, portanto hipotenusa = 8 / 0.5 = 16 cm.
In SOH CAH TOA, sin θ = opposite / ______. · Em SOH CAH TOA, sin θ = oposto / ______.
SOH: sin θ = Opposite / Hypotenuse. · SOH: sin θ = Oposto / Hipotenusa.
Angles of elevation and depression (Extended)
- Angle of elevation: looking up from the horizontal.
- Angle of depression 俯角: looking down from the horizontal.
- Both are measured from the horizontal, not from the vertical.
From the horizontal, always. The angle of elevation/depression is measured from the horizontal line, not from the vertical. This is the most common error in these problems.
Name the sides from the angle $\theta$: the opposite is across from it, the adjacent next to it, the hypotenuse opposite the right angle (SOH-CAH-TOA)
Ângulos de elevação e depressão (Estendido)
- Ângulo de elevação: olhando para cima a partir da horizontal.
- Ângulo de depressão: olhar para baixo a partir da horizontal.
- Ambos são medidos a partir da horizontal, não da vertical.
Da horizontal, sempre. O ângulo de elevação/depressão é medido a partir da linha horizontal, não da vertical. Este é o erro mais comum nesses problemas.
Nomeie os lados a partir do ângulo $\theta$: o oposto está cruzado dele, o adjacente ao lado dele, a hipotenusa oposta ao ângulo reto (SOH-CAH-TOA)
From 50 m away, the angle of elevation to a tower top is 40°. Height = 50 × tan 40°. Find it (m, 1 dp). · A 50 m de distância, o ângulo de elevação até o topo de uma torre é 40°. Altura = 50 × tan 40°. Encontre-a (m, 1 casa decimal).
50 × tan 40° = 50 × 0.839 = 42.0 m.
The angle of elevation is measured from the vertical. · O ângulo de elevação é medido a partir da vertical.
Angles of elevation and depression are both measured from the horizontal, not the vertical. · Ângulos de elevação e depressão são medidos a partir da horizontal, não da vertical.
Worked example
- $50$ m from a tower, elevation $40^{\circ}$:
- $h=d\tan\theta=50\tan40^{\circ}\approx42.0$ m. Keep the full calculator value of the tangent before rounding.
The angle of elevation looks up from the horizontal; the angle of depression looks down
Exemplo resolvido
- $50$ m de uma torre, elevação $40^{\circ}$:
- $h=d\tan\theta=50\tan40^{\circ}\approx42.0$ m. Mantenha o valor completo da calculadora da tangente antes de arredondar.
O ângulo de elevação olha para cima da horizontal; o ângulo de depressão olha para baixo
You've got it
- SOH: $\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$; CAH: $\cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$; TOA: $\tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$
- use the inverse ($\tan^{-1}$ etc.) to find an angle
- elevation looks up, depression looks down — both from the horizontal
Entendeu?
- SOH: $\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$; CAH: $\cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$; TOA: $\tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$
- use o inverso ($\tan^{-1}$ etc.) para encontrar um ângulo
- elevação olha para cima, depressão olha para baixo — ambos da horizontal