The derivative · A derivada
| English | Português |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
| gradient of the tangent/ˈɡreɪdɪənt ɒvðə ˈtændʒənt/ | gradiente da tangente |
| differentiation from first principles/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn frɒm fɜːst ˈprɪnsɪplz/ | diferenciação por definição |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | regra da potência |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | regra do produto |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | regra do quociente |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | regra da cadeia |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | ponto estacionário |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | segunda derivada |
| maximum/ˈmæksɪməm/ | máximo |
| minimum/ˈmɪnɪməm/ | mínimo |
A finite average hides local change
- For $y=x^2$, the secant from x equal to 1 to 2 has slope 3, but the tangent at x equal to 1 has slope 2.
- A derivative 导数 is an instantaneous limiting rate, when it exists. Geometrically it gives the gradient of the tangent 切线斜率 at a differentiable point.
Uma média finita esconde mudanças locais
- Para $y=x^2$, a secante de x igual a 1 a 2 tem inclinação 3, mas a tangente em x igual a 1 tem inclinação 2.
- Uma derivada é uma taxa de limite instantânea, quando existe. Geometricamente, fornece a inclinação da tangente em um ponto diferenciável.
Slide the second point towards the first · Deslize o segundo ponto em direção ao primeiro
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
The chord becomes the tangent, and its gradient becomes the derivative. · A corda torna-se a tangente, e sua inclinação torna-se a derivada.
What does the derivative of a function at a point measure? · O que a derivada de uma função em um ponto mede?
Where it exists, the derivative is an instantaneous limiting rate of change and tangent gradient. A definite integral measures signed accumulation, which need not equal geometric area. · Onde existe, a derivada é uma taxa de variação limite instantânea e gradiente tangente. Uma integral definida mede acumulação com sinal, que pode não ser igual à área geométrica.
Take a limit without dividing by zero
- Differentiation from first principles 从定义求导 uses $f'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h$. The difference quotient uses nonzero h before its limit is taken.
- One-sided limits must agree for a two-sided derivative. A sharp corner can prevent differentiability even if the function is continuous.
Calcule um limite sem dividir por zero
- Diferenciação pelos primeiros princípios usa $f'(x)=\lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x)]/h$. O quociente de diferença usa h não nulo antes de seu limite ser tomado.
- Os limites laterais devem concordar para que exista uma derivada bilateral. Um canto agudo pode impedir a diferenciabilidade mesmo se a função for contínua.
A power from its definition. For $f(x)=x^2$, the quotient is $[(x+h)^2-x^2]/h=2x+h$ for nonzero h. Its limit is $2x$. For $|x|$ at zero, the quotient $|h|/h$ instead has right-hand limit 1 and left-hand limit negative 1, so no derivative exists there.
Uma potência por sua definição. Para $f(x)=x^2$, o quociente é $[(x+h)^2-x^2]/h=2x+h$ para h diferente de zero. Seu limite é $2x$. Para $|x|$ em zero, o quociente $|h|/h$ tem, ao contrário, limite lateral direito 1 e limite lateral esquerdo negativo 1, portanto não existe derivada ali.
Select a rule for the function form
- The power rule 幂法则 gives $(x^n)'=nx^{n-1}$ on a valid domain. The product rule 乘积法则 gives $(uv)'=u'v+uv'$.
- The quotient rule 商法则 gives $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ where v is nonzero. The chain rule 链式法则 gives $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$, including the inner derivative.
Selecione uma regra para a forma da função
- A regra da potência dá $(x^n)'=nx^{n-1}$ em um domínio válido. A regra do produto dá $(uv)'=u'v+uv'$.
- A regra do quociente dá $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ onde v é não nulo. A regra da cadeia dá $[f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x)$, incluindo a derivada interna.
Differentiate y = x⁵. Give the derivative. · Diferencie y = x⁵. Dê a derivada.
Bring the power down and reduce it by one: 5x⁴. · Tire o expoente para baixo e reduza-o em uma unidade: 5x⁴.
Which rule differentiates y = (3x + 1)⁴? · Qual regra diferencia y = (3x + 1)⁴?
A function inside a function. The derivative is 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³. · Uma função dentro de uma função. A derivada é 4(3x + 1)³ × 3 = 12(3x + 1)³.
A stationary point needs classification
- A stationary point 驻点 has $f'(x)=0$. A nonzero second derivative 二阶导数 there gives a local maximum 极大值 when negative or minimum 极小值 when positive.
- A zero second derivative is inconclusive. Examine first-derivative signs or other evidence; $x^3$ has a stationary inflection at zero, not a maximum or minimum.
Um ponto estacionário precisa de classificação
- Um ponto estacionário tem $f'(x)=0$. Uma segunda derivada não nula naquele ponto indica um máximo local quando negativo ou mínimo quando positivo.
- Segunda derivada nula é inconclusiva. Examine os sinais da primeira derivada ou outras evidências; $x^3$ tem um ponto de inflexão estacionário em zero, não um máximo ou mínimo.
y = x³ − 3x has a stationary point at a positive value of x. What is it? · y = x³ − 3x tem um ponto estacionário em um valor positivo de x. Qual é ele?
dy/dx = 3x² − 3 = 0 gives x = ±1, so the positive one is x = 1. · dy/dx = 3x² − 3 = 0 dá x = ±1, então o positivo é x = 1.
At a stationary point the second derivative is negative. What kind of point is it? · Em um ponto estacionário a segunda derivada é negativa. Que tipo de ponto é?
Negative second derivative means the gradient is falling through zero, so the curve turns downward. · Segunda derivada negativa significa que a inclinação está caindo através de zero, então a curva vira para baixo.
Put the steps of a stationary-point question in the order that earns the marks. · Coloque os passos de uma questão de ponto estacionário na ordem que gera os pontos.
Find candidate x-values from the derivative, substitute into the original function for their coordinates, and justify classification. A zero second derivative is inconclusive. · Encontrar valores candidatos x pela derivada, substituir na função original para suas coordenadas, e justificar classificação. Derivada segunda zero é inconclusiva.
Find both coordinates and describe intervals. In sheet 3.1, factor the derivative to find candidate x-values, substitute into the original function for y, then test classification and where the curve increases or decreases.
Encontre ambas as coordenadas e descreva os intervalos. Na folha 3.1, fatorize a derivada para encontrar valores candidatos de x, substitua na função original para obter y, depois teste a classificação e onde a curva aumenta ou diminui.
$dy/dx$ differentiates with respect to x; a dot over y normally differentiates with respect to time. State the independent variable rather than treating these notations as interchangeable in every problem. Trigonometric derivative rules here use radians.
$dy/dx$ diferencia com respeito a x; um ponto sobre y normalmente diferencia com respeito ao tempo. Declare a variável independente em vez de tratar essas notações como intercambiáveis em todos os problemas. As regras de derivadas trigonométricas aqui usam radianos.