Integration · Integração
| English | Português |
|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | integração |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral definida |
| fundamental theorem of calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | teorema fundamental do cálculo |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | constante de integração |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | integração por substituição |
Signed accumulation can cancel
- Integration 积分 can recover an antiderivative or calculate signed accumulation. A definite integral is not automatically a nonnegative geometric area.
- For a continuous integrand, the fundamental theorem of calculus 微积分基本定理 connects a definite integral to an antiderivative evaluated at its bounds.
Acumulação com sinal pode se cancelar
- A integração pode recuperar uma antiderivada ou calcular acumulação assinada. Uma integral definida não é automaticamente uma área geométrica não negativa.
- Para uma função integranda contínua, o teorema fundamental do cálculo conecta uma integral definida a uma antiderivada avaliada em seus limites.
Keep the antiderivative family
- An indefinite integral needs a constant of integration 积分常数 because differentiating any constant gives zero. The power formula is $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ for $n\ne-1$ on a valid domain.
- The reciprocal exception is $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ on an interval not crossing zero. A positive or negative domain needs attention before choosing a logarithm expression.
Mantenha a família das primitivas
- Uma integral indefinida precisa de uma constante de integração porque a derivada de qualquer constante é zero. A fórmula da potência é $\int x^n dx=x^{n+1}/(n+1)+C$ para $n\ne-1$ em um domínio válido.
- A exceção recíproca é $\int1/x\,dx=\ln|x|+C$ em um intervalo que não cruza zero. Um domínio positivo ou negativo exige atenção antes de escolher uma expressão logarítmica.
Integrate x³ with respect to x. Include the constant. · Integre x³ em relação a x. Inclua a constante.
Add one to the power and divide by the new power, then add c because any constant differentiates to zero. · Adicione um ao expoente e divida pelo novo expoente, depois adicione c porque qualquer constante diferencia para zero.
A definite integral needs a constant of integration. · Uma integral definida precisa de uma constante de integração.
The constant cancels in F(b) − F(a). Only an indefinite integral needs it — and there it is compulsory. · A constante cancela em F(b) − F(a). Apenas uma integral indefinida precisa dela — e lá ela é obrigatória.
In one English sentence, explain why an indefinite integral needs "+ c". · Em uma frase em inglês, explique por que uma integral indefinida precisa de "+ c".
Example: "Any constant differentiates to zero, so the original constant cannot be recovered from the derivative." · Exemplo: "Qualquer constante diferencia para zero, então a constante original não pode ser recuperada a partir da derivada."
Evaluate upper minus lower
- A definite integral 定积分 gives $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ when the antiderivative method applies. Substitute both bounds into the same F.
- C cancels between those evaluations. For geometric area, split where the curve changes sign or where upper and lower curves exchange order.
Avalie superior menos inferior
- Uma integral definida dá $\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$ quando o método da antiderivada se aplica. Substitua ambos os limites na mesma F.
- C cancela entre essas avaliações. Para área geométrica, divida onde a curva muda de sinal ou onde as curvas superior e inferior trocam de ordem.
The area under the curve · A área sob a curva
$\int_a^b f(x)\,dx$
A definite integral is the signed area between the curve and the axis. · Uma integral definida é a área assinada entre a curva e o eixo.
Evaluate the integral of x² from 0 to 3. · Avalie a integral de x² de 0 a 3.
[x³/3] from 0 to 3 = 27/3 − 0 = 9. · [x³/3] de 0 a 3 = 27/3 − 0 = 9.
Zero integral, positive area. For $y=x$ from negative 1 to 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. Geometric area is $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. Each triangular region has area one half; their signed contributions cancel.
Integral zero, área positiva. Para $y=x$ de -1 a 1, $I=[x^2/2]_{-1}^1=0$. A área geométrica é $A=-\int_{-1}^0x\,dx+\int_0^1x\,dx=1$. Cada região triangular tem área meio; suas contribuições com sinal se cancelam.
Substitute both the function and differential
- Integration by substitution 换元积分法 reverses the chain rule. With $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, so $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- For a definite integral, transform its bounds to u or return to x before evaluating original bounds. Do not combine u expressions with x bounds.
Substitua tanto a função quanto o diferencial
- Integração por substituição inverte a regra da cadeia. Com $u=x^2+1$, $du=2x\,dx$, então $\int2x(x^2+1)^5dx=\int u^5du$.
- Para uma integral definida, transforme seus limites para u ou retorne a x antes de avaliar os limites originais. Não combine expressões de u com limites de x.
Which substitution simplifies the integral of 2x(x² + 1)⁵? · Qual substituição simplifica a integral de 2x(x² + 1)⁵?
Its derivative 2x is already present, so du = 2x dx and the integral becomes u⁵ du. · Sua derivada 2x já está presente, então du = 2x dx e a integral torna-se u⁵ du.
Differentiate an antiderivative to check it. Also check the domain, integration constant and bounds; differentiation alone does not prove that a definite integral or geometric area was evaluated correctly. Sheet 3.2 uses velocity to distinguish displacement, total distance and final position.
Diferencie uma primitiva para verificá-la. Também verifique o domínio, a constante de integração e os limites; a diferenciação sozinha não prova que uma integral definida ou área geométrica foi avaliada corretamente. A folha 3.2 usa velocidade para distinguir deslocamento, distância total e posição final.
How do you check an integration answer reliably? · Como verificar uma resposta de integração de forma confiável?
Differentiate a proposed antiderivative and compare it with the original integrand on its domain. Also check the constant, bounds and sign or geometric-area interpretation; differentiation alone does not validate those steps. · Diferenciar uma antiderivada proposta e compará-la com o integrando original em seu domínio. Verificar também constante, limites e interpretação de sinal ou área geométrica; diferenciação sozinha não valida esses passos.
An antiderivative valid on an interval cannot automatically justify evaluating across a singularity. Check the integrand's domain before applying upper-minus-lower. An initial position must be added when an integral gives only a displacement.
Uma primitiva válida em um intervalo não justifica automaticamente a avaliação através de uma singularidade. Verifique o domínio do integrando antes de aplicar superior menos inferior. Posição inicial deve ser adicionada quando uma integral fornece apenas um deslocamento.