Inverses of Exponential Functions · Inversas de Funções Exponenciais
| English | Português |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverso |
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | função logarítmica |
| domain/dəˈmeɪn/ | domínio |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota vertical |
The exponential's mirror twin
- Every exponential function has a partner that runs it backward.
- Where $2^x$ turns an exponent into a value, its partner turns a value back into the exponent.
- That partner is the logarithm — and geometrically it is a perfect mirror image.
- Understanding the pair together makes both far easier.
O gêmeo espelhado da exponencial
- Toda função exponencial tem um parceiro que a roda para trás.
- Onde $2^x$ transforma um expoente em um valor, seu parceiro transforma um valor de volta em expoente.
- Esse parceiro é o logaritmo — e geometricamente é uma imagem espelhada perfeita.
- Entender o par juntos torna ambos muito mais fáceis.
Log is the inverse of exponential
- The logarithmic function 对数函数 $\log_b x$ is the inverse 反函数 of the exponential $b^x$.
- They share the same base and undo each other's work.
- $b^x$ takes an exponent to a value; $\log_b x$ takes the value back to the exponent.
- So logs and exponentials are two views of one relationship.
Log é a inversa da exponencial
- A função logarítmica 对数函数 $\log_b x$ é a inversa 反函数 da exponencial $b^x$.
- Compartilham a mesma base e desfazem o trabalho um do outro.
- $b^x$ pega um expoente e vira valor; $\log_b x$ pega o valor de volta para o expoente.
- Então logs e exponenciais são duas visões de uma mesma relação.
The · A logarithmic function $\log_b x$ is the ____ of the exponential function $b^x$. · A função logarítmica $\log_b x$ é o ____ da função exponencial $b^x$.
They undo each other, so the log function is the inverse · inverso of the exponential with the same base. · Elas se desfazem mutuamente, então a função log é a inversa da exponencial com a mesma base.
Reflection across y = x
- Because they are inverses, their graphs are reflections across the line $y = x$.
- The soaring exponential becomes a slowly-rising logarithm, and vice versa.
- Every point $(a, b)$ on $b^x$ corresponds to $(b, a)$ on $\log_b x$.
- Seeing one graph, you can sketch the other by flipping across $y = x$.
Reflexão através de y = x
- Por serem inversas, seus gráficos são reflexos através da linha $y = x$.
- A exponencial crescente torna-se um logaritmo de crescimento lento, e vice-versa.
- Todo ponto $(a, b)$ em $b^x$ corresponde a $(b, a)$ em $\log_b x$.
- Vendo um gráfico, você pode esboçar o outro virando através de $y = x$.
The exponential curve whose mirror is the logarithm · A curva exponencial cujo espelho é o logaritmo
y = 2ˣ
Picture reflecting this curve y = 2ˣ across the line y = x. The mirror image is the graph of y = log₂ x. · Imagine refletir esta curva y = 2ˣ através da linha y = x. A imagem espelhada é o gráfico de y = log₂ x.
Swapped domain, range, and asymptote
- Inverses swap domain and range. The exponential's range $y > 0$ becomes the log's domain 定义域 $x > 0$.
- The exponential's horizontal asymptote $y = 0$ becomes the log's vertical asymptote 竖直渐近线 $x = 0$.
- The log's range is all real numbers — it can be any exponent.
- So the log function exists only for positive inputs, hugging the y-axis on the left.
Domínio, imagem e assíntota trocados
- Inversas trocam domínio e imagem. A imagem da exponencial $y > 0$ torna-se o domínio 定义域 $x > 0$ do logaritmo.
- A assíntota horizontal da exponencial $y = 0$ torna-se a assíntota vertical 竖直渐近线 $x = 0$ do logaritmo.
- A imagem do logaritmo é todos os números reais — ele pode ser qualquer expoente.
- Portanto, a função logarítmica existe apenas para entradas positivas, abraçando o eixo y à esquerda.
The exponential has a horizontal asymptote; its inverse, the log, has a ____ asymptote instead. · A exponencial possui uma assíntota horizontal; sua inversa, o log, possui uma ____ assíntota em vez disso.
Reflecting across $y=x$ turns the horizontal asymptote $y=0$ into the vertical asymptote $x=0$. · Refletir através de $y=x$ transforma a assíntota horizontal $y=0$ na assíntota vertical $x=0$.
The domain of $\log_b x$ is $x > 0$, which was the range of the exponential. · O domínio de $\log_b x$ é $x > 0$, que era a imagem da exponencial.
Inverses swap domain and range: the exponential's range ($y>0$) becomes the log's domain ($x>0$). · Inversas trocam domínio e imagem: a imagem da exponencial ($y>0$) torna-se o domínio do log ($x>0$).
Select all · todos true statements about the exponential and its inverse. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre a exponencial e sua inversa.
They are inverses, not the same function. The other three correctly describe the relationship. · Elas são inversas, não a mesma função. As outras três descrevem corretamente a relação.
They undo each other
- Composing a function with its inverse cancels: $\log_b(b^x) = x$ and $b^{\log_b x} = x$.
- So $\log_2(2^7) = 7$ and $10^{\log_{10} 5} = 5$.
- This cancelling is exactly how logs solve equations with the variable in the exponent.
- Apply the log to both sides, and the exponent comes down where you can reach it.
Se anulam mutuamente
- Compor uma função com sua inversa cancela: $\log_b(b^x) = x$ e $b^{\log_b x} = x$.
- Então $\log_2(2^7) = 7$ e $10^{\log_{10} 5} = 5$.
- Esse cancelamento é exatamente como os logaritmos resolvem equações com a variável no expoente.
- Aplique o logaritmo em ambos os lados, e o expoente desce onde você pode alcançá-lo.
What is $\log_2\!\left(2^5\right)$? · O que é $\log_2\!\left(2^5\right)$?
The log undoes the exponential: $\log_2(2^5) = 5$. Inverse functions cancel. · O log desfaz a exponencial: $\log_2(2^5) = 5$. Funções inversas se cancelam.
The exponential accepts any real input but only outputs positives; the log is the mirror — it only accepts positive inputs but outputs any real. Do not give a logarithm a zero or negative argument, and do not expect an exponential to ever output one.
A exponencial aceita qualquer entrada real, mas só produz positivos; o logaritmo é o espelho — aceita apenas entradas positivas, mas produz qualquer número real. Não dê um zero ou argumento negativo a um logaritmo, e não espere que uma exponencial produza um deles alguma vez.
Use the inverse relationship to solve $10^x = 1000$.
- Take $\log_{10}$ of both sides: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- The left side cancels to $x$; the right side is $3$ (since $10^3 = 1000$).
- So $x = 3$ — the logarithm undid the exponential.
Use a relação de inversão para resolver $10^x = 1000$.
- Tire $\log_{10}$ de ambos os lados: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$.
- O lado esquerdo cancela para $x$; o lado direito é $3$ (já que $10^3 = 1000$).
- Então $x = 3$ — o logaritmo desfez a exponencial.
The logarithmic function is the inverse of the exponential with the same base: their graphs reflect across $y = x$. Domain and range swap, so the log has domain $x > 0$ and a vertical asymptote at $x = 0$. They undo each other, which is how logs solve exponential equations.
A função logarítmica é o inverso da exponencial com a mesma base: seus gráficos refletem através de $y = x$. Domínio e imagem trocam, então o logaritmo tem domínio $x > 0$ e uma assíntota vertical em $x = 0$. Eles se anulam mutuamente, que é como os logaritmos resolvem equações exponenciais.