Logarithms · Logaritmos
| English | Português |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | exponencial |
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritmo |
| base/beɪs/ | fundamentais |
| natural log/ˈnætʃərəl lɒɡ/ | logaritmo natural |
| common log/ˈkɒmən lɒɡ/ | logaritmo decimal |
The reverse question
- Exponentials answer "start at 1 and multiply by 2 five times — what do you get?" ($2^5 = 32$).
- Logarithms answer the reverse: "how many times must I multiply by 2 to reach 32?" ($5$).
- That reverse question comes up everywhere: pH, earthquakes, decibels, compound interest.
- A logarithm is simply the exponent, pulled back out.
A pergunta reversa
- Exponenciais respondem "comece em 1 e multiplique por 2 cinco vezes — o que você obtém?" ($2^5 = 32$).
- Logaritmos respondem o reverso: "quantas vezes devo multiplicar por 2 para chegar a 32?" ($5$).
- Essa pergunta reversa aparece em tudo: pH, terremotos, decibéis, juros compostos.
- Um logaritmo é simplesmente o expoente, trazido de volta à tona.
A logarithm is an exponent
- A logarithm 对数 answers: to what power must the base 底数 be raised to get a value?
- $\log_b y = x$ means exactly $b^x = y$ — the log is the exponent $x$.
- So $\log_2 8 = 3$ because $2^3 = 8$.
- Reading a log as "the exponent that works" makes it far less mysterious.
Um logaritmo é um expoente
- Um logaritmo 对数 responde: a que potência a base 底数 deve ser elevada para obter um valor?
- $\log_b y = x$ significa exatamente $b^x = y$ — o logaritmo é o expoente $x$.
- Então $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$.
- Ler um logaritmo como "o expoente que funciona" o torna muito menos misterioso.
Read a logarithm off the exponential curve · Leitura de um logaritmo na curva exponencial
y = 2ˣ
Find the y-value 8 on the curve y = 2ˣ. The x that produces it is the exponent — that is log base 2 of 8. · Encontre o valor y 8 na curva y = 2ˣ. O x que o produz é o expoente — isso é log base 2 de 8.
The statement $\log_b y = x$ means the same as… · A afirmação $\log_b y = x$ significa o mesmo que…
A logarithm is the exponent: $\log_b y = x$ asks "$b$ to what power gives $y$?", so $b^x = y$. · Um logaritmo é o expoente: $\log_b y = x$ pergunta "$b$ elevado a que potência resulta em $y$?", logo $b^x = y$.
Evaluate · Avaliar $\log_2 8$. · Avalie $\log_2 8$.
$2^3 = 8$, so the exponent is $3$: $\log_2 8 = 3$. · $2^3 = 8$, então o expoente é $3$: $\log_2 8 = 3$.
Common and natural logs
- Two bases are so common they get shortcuts.
- The common log 常用对数 $\log$ (with no base shown) has base $10$.
- The natural log 自然对数 $\ln$ has base $e \approx 2.718$.
- Calculators have both buttons; other bases use the change-of-base formula.
Logaritmos comuns e naturais
- Duas bases são tão comuns que têm atalhos.
- O logaritmo comum 常用对数 $\log$ (sem base mostrada) tem base $10$.
- O logaritmo natural 自然对数 $\ln$ tem base $e \approx 2.718$.
- Calculadoras têm ambos os botões; outras bases usam a fórmula de mudança de base.
The · A natural log $\ln$ uses which base? · O logaritmo natural $\ln$ usa qual base?
The · A natural log has base $e$; the common log ($\log$ with no base written) has base $10$. · O logaritmo natural tem base $e$; o logaritmo comum ($\log$ sem base escrita) tem base $10$.
Select all · todos true statements about logarithms. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre logaritmos.
The argument of a log must be positive, so you cannot take the log of a negative. The other three are correct. · O argumento de um log deve ser positivo, então você não pode tirar o log de um negativo. As outras três estão corretas.
Converting between forms
- Every exponential 指数 statement has a matching logarithmic one.
- $b^x = y \iff \log_b y = x$ — the same fact written two ways.
- Rewrite $10^3 = 1000$ as $\log_{10} 1000 = 3$.
- Switching forms is the key trick for solving equations with unknown exponents.
Convertendo entre formas
- Toda declaração exponencial 指数 tem uma correspondente logarítmica.
- $b^x = y \iff \log_b y = x$ — o mesmo fato escrito de duas formas.
- Reescreva $10^3 = 1000$ como $\log_{10} 1000 = 3$.
- Alternar formas é o truque chave para resolver equações com expoentes desconhecidos.
The argument must be positive
- You can only take the logarithm of a positive number.
- A positive base raised to any power stays positive, so $b^x$ never reaches $0$ or a negative.
- Therefore $\log_b y$ is undefined for $y \le 0$.
- This restriction shapes the domain of every logarithmic function.
O argumento deve ser positivo
- Só podemos tirar o logaritmo de um número positivo.
- Uma base positiva elevada a qualquer potência permanece positiva, então $b^x$ nunca alcança $0$ ou um negativo.
- Portanto $\log_b y$ está indefinido para $y \le 0$.
- Essa restrição molda o domínio de toda função logarítmica.
The argument (input) of a logarithm must be ____, because a positive base to any power stays positive. · O argumento (entrada) de um logaritmo deve ser ____, porque uma base positiva elevada a qualquer potência permanece positiva.
Since $b^x > 0$ always, no exponent can produce zero or a negative — so $\log_b y$ needs $y > 0$. · Como $b^x > 0$ sempre, nenhum expoente pode produzir zero ou um negativo — então $\log_b y$ precisa de $y > 0$.
$\log_b y$ is the exponent, not a product. $\log_2 8$ is $3$ (the power), not $2 \times 8$. And you can never take the log of $0$ or a negative number — the argument must be strictly positive.
$\log_b y$ é o expoente, não um produto. $\log_2 8$ é $3$ (a potência), não $2 \times 8$. E você nunca pode tirar o log de $0$ ou um número negativo — o argumento deve ser estritamente positivo.
Solve $2^x = 16$ using a logarithm.
- Rewrite in log form: $x = \log_2 16$.
- Ask "$2$ to what power is $16$?" — since $2^4 = 16$, the answer is $4$.
- So $x = 4$: the logarithm pulled the exponent out for us.
Resolva $2^x = 16$ usando um logaritmo.
- Reescreva na forma log: $x = \log_2 16$.
- Pergunte "$2$ a que potência está $16$?" — como $2^4 = 16$, a resposta é $4$.
- Então $x = 4$: o logaritmo puxou o expoente para nós.
A logarithm is an exponent: $\log_b y = x$ means $b^x = y$. The common log uses base $10$ and the natural log uses base $e$. Every exponential statement converts to a log statement, and the argument of a log must always be positive.
Um logaritmo é um expoente: $\log_b y = x$ significa $b^x = y$. O logaritmo comum usa base $10$ e o logaritmo natural usa base $e$. Toda declaração exponencial converte-se em uma declaração log, e o argumento de um log deve sempre ser positivo.