Inverse Functions · Funções Inversas
| English | Português |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverso |
| domain/dəˈmeɪn/ | domínio |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | um-para-um |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | reflexão |
Undoing a function
- Every function does something to an input; its inverse undoes it.
- Add 3, and the inverse subtracts 3. Double it, and the inverse halves.
- The inverse runs the machine backward, turning outputs into inputs.
- This "undo" is exactly how we solve equations built from functions.
Desfazendo uma função
- Toda função faz algo com uma entrada; sua inversa desfaz isso.
- Some 3, e a inversa subtrai 3. Dobre, e a inversa divide pela metade.
- A inversa roda a máquina para trás, transformando saídas em entradas.
- Esse "desfazer" é exatamente como resolvemos equações construídas a partir de funções.
What an inverse does
- The inverse 反函数 of $f$, written $f^{-1}$, reverses every input-output pair.
- If $f$ sends $2 \to 5$, then $f^{-1}$ sends $5 \to 2$.
- So the domain of $f$ becomes the range of $f^{-1}$, and vice versa.
- Composing them undoes everything: $f^{-1}(f(x)) = x$.
O que uma inversa faz
- A inversa 反函数 de $f$, escrita $f^{-1}$, inverte cada par entrada-saída.
- Se $f$ envia $2 \to 5$, então $f^{-1}$ envia $5 \to 2$.
- Então o domínio de $f$ torna-se a imagem (range) de $f^{-1}$, e vice-versa.
- Compô-las desfaz tudo: $f^{-1}(f(x)) = x$.
The · A inverse · inverso of a function… · A inversa de uma função…
If $f$ sends $2 \to 5$, then $f^{-1}$ sends $5 \to 2$: the inverse undoes what the function did. · Se $f$ envia $2 \to 5$, então $f^{-1}$ envia $5 \to 2$: a inversa desfaz o que a função fez.
It must be one-to-one
- An inverse function exists only if $f$ is one-to-one 一一对应.
- One-to-one means each output comes from exactly one input.
- If two inputs share an output, running backward is ambiguous — no single inverse.
- The horizontal-line test checks this: no horizontal line may hit the graph twice.
Deve ser injetiva
- Uma função inversa existe apenas se $f$ for injética 一一对应.
- Injetiva significa que cada saída vem de exatamente uma entrada.
- Se duas entradas compartilham uma saída, ir para trás é ambíguo — sem uma única inversa.
- O teste da linha horizontal verifica isso: nenhuma linha horizontal pode tocar o gráfico duas vezes.
Reflect a line across y = x to see its inverse · Refletir uma linha através de y = x para ver sua inversa
y = ax + b
This line is f(x) = 2x + 1. Its inverse swaps x and y, giving the mirror image across the line y = x. · Esta linha é f(x) = 2x + 1. Sua inversa troca x e y, resultando na imagem espelhada através da linha y = x.
A function has an inverse function only if it is ____ (each output comes from exactly one input). · Uma função possui uma função inversa apenas se for ____ (cada saída vem de exatamente uma entrada).
If two inputs share an output, the reverse map is ambiguous — so only a one-to-one function is invertible. · Se duas entradas compartilham uma saída, o mapa reverso é ambíguo — portanto, apenas uma função um-para-um é invertível.
Finding the inverse rule
- Write $y = f(x)$, then swap $x$ and $y$.
- Now solve the new equation for $y$ — that expression is $f^{-1}(x)$.
- For $f(x) = 2x + 1$: swap to $x = 2y + 1$, solve → $y = \dfrac{x-1}{2}$.
- Swapping reverses the roles of input and output, which is the whole idea.
Encontrando a regra da inversa
- Escreva $y = f(x)$, depois troque $x$ e $y$.
- Agora resolva a nova equação para $y$ — essa expressão é $f^{-1}(x)$.
- Para $f(x) = 2x + 1$: troque para $x = 2y + 1$, resolva → $y = \dfrac{x-1}{2}$.
- Trocar inverte os papéis de entrada e saída, que é toda a ideia.
To find the rule for $f^{-1}$, you… · Para encontrar a regra de $f^{-1}$, você…
Swapping $x$ and · e $y$ reverses the roles of input and output; solving for $y$ gives the inverse rule. · Trocar $x$ e $y$ inverte os papéis de entrada e saída; resolver para $y$ fornece a regra da inversa.
Select all · todos true statements about inverse functions. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre funções inversas.
Not every function is invertible — it must be one-to-one first. The other three are correct. · Nem toda função é invertível — ela deve ser primeiramente um-para-um. As outras três estão corretas.
Reflection across y = x
- Swapping $(a,b)$ to $(b,a)$ mirrors every point across the line $y = x$.
- So the graph of $f^{-1}$ is the reflection 反射 of the graph of $f$ in that line.
- Wherever $f$ crosses the y-axis, $f^{-1}$ crosses the x-axis, and so on.
- You can verify an inverse by checking $f(f^{-1}(x)) = x$.
Reflexão através de y = x
- Trocar $(a,b)$ por $(b,a)$ espelha cada ponto através da linha $y = x$.
- Então o gráfico de $f^{-1}$ é o reflexo 反射 do gráfico de $f$ nessa linha.
- Onde quer que $f$ cruze o eixo y, $f^{-1}$ cruza o eixo x, e assim por diante.
- Você pode verificar uma inversa checando $f(f^{-1}(x)) = x$.
The graph of $f^{-1}$ is the reflection of the graph of $f$ across the line $y = x$. · O gráfico de $f^{-1}$ é a reflexão do gráfico de $f$ através da linha $y = x$.
Swapping every $(a,b)$ to · até $(b,a)$ mirrors the whole graph across $y = x$. · Trocar cada $(a,b)$ por $(b,a)$ espelha todo o gráfico através de $y = x$.
The notation $f^{-1}$ means the inverse function, not the reciprocal $\dfrac{1}{f}$. Despite the "$-1$", $f^{-1}(x)$ is never $\dfrac{1}{f(x)}$ — it is the function that undoes $f$.
A notação $f^{-1}$ significa a função inversa, não o recíproco $\dfrac{1}{f}$. Apesar do "$-1$", $f^{-1}(x)$ nunca é $\dfrac{1}{f(x)}$ — é a função que desfaz $f$.
Find the inverse of $f(x) = 3x - 6$.
- Write $y = 3x - 6$, then swap: $x = 3y - 6$.
- Solve for $y$: $x + 6 = 3y$, so $y = \dfrac{x+6}{3}$.
- Check: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — it undoes $f$. ✓
Encontre a inversa de $f(x) = 3x - 6$.
- Escreva $y = 3x - 6$, depois troque: $x = 3y - 6$.
- Resolva para $y$: $x + 6 = 3y$, então $y = \dfrac{x+6}{3}$.
- Verifique: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — ela desfaz $f$. ✓
An inverse function $f^{-1}$ reverses each input-output pair, so it undoes $f$. It exists only when $f$ is one-to-one. Find it by swapping $x$ and $y$ and solving; its graph is the reflection of $f$ across the line $y = x$.
Uma inversa 反函数 $f^{-1}$ inverte cada par entrada-saída, então desfaz $f$. Ela existe apenas quando $f$ é injética. Encontre-a trocando $x$ e $y$ e resolvendo; seu gráfico é o reflexo de $f$ através da linha $y = x$.