Composition of Functions · Composição de Funções
| English | Português |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | composição |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | função composta |
| domain/dəˈmeɪn/ | domínio |
Functions in a chain
- Feed a number into one function, then feed its answer into a second function.
- The two machines work in a row: output of the first becomes input of the second.
- This chaining is called composition, and it builds complex functions from simple ones.
- It is how a "convert then round" or "discount then tax" calculation really works.
Funções em cadeia
- Insira um número em uma função, depois insira sua resposta em uma segunda função.
- As duas máquinas funcionam em sequência: a saída da primeira torna-se a entrada da segunda.
- Essa encadeamento é chamado composição, e constrói funções complexas a partir de simples.
- É assim que cálculos como "converter e depois arredondar" ou "desconto e depois imposto" realmente funcionam.
The composite function
- The composite function 复合函数 is written $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
- Read it inside-out: apply $g$ first, then apply $f$ to the result.
- The composition 复合 hands the output of $g$ straight to $f$ as its input.
- So $g$ is the inner function and $f$ is the outer one.
A função composta
- A função composta 复合函数 é escrita $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.
- Leia-a de dentro para fora: aplique $g$ primeiro, depois aplique $f$ ao resultado.
- A composição 复合 entrega a saída de $g$ diretamente a $f$ como sua entrada.
- Então $g$ é a função interna e $f$ é a externa.
Send an input through two functions in a row · Enviar uma entrada através de duas funções em sequência
Step through the pipeline — the output of g is handed straight to f. · Passe pela linha de produção — a saída de g é passada diretamente para f.
In the composition $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, which function acts first · primeiro? · Na composição $(f \circ g)(x) = f(g(x))$, qual função atua primeiro?
Work inside-out: $g$ acts on $x$ first, then $f$ acts on the result $g(x)$. · Trabalhe de dentro para fora: $g$ atua sobre $x$ primeiro, então $f$ atua sobre o resultado $g(x)$.
Evaluating a composition
- Always work from the inside out.
- To find $f(g(2))$, first compute $g(2)$, then feed that number into $f$.
- With $g(x)=x+1$ and $f(x)=x^2$: $g(2)=3$, then $f(3)=9$.
- You can also compose the formulas to get one rule for the whole chain.
Avaliando uma composição
- Sempre trabalhe de dentro para fora.
- Para encontrar $f(g(2))$, primeiro calcule $g(2)$, depois insira esse número em $f$.
- Com $g(x)=x+1$ e $f(x)=x^2$: $g(2)=3$, depois $f(3)=9$.
- Você também pode compor as fórmulas para obter uma única regra para toda a cadeia.
If $g(x) = x + 1$ and · e $f(x) = x^2$, what is $f(g(2))$? · Se $g(x) = x + 1$ e $f(x) = x^2$, qual é $f(g(2))$?
Inner first: $g(2) = 3$. Then outer: $f(3) = 3^2 = 9$. · Interno primeiro: $g(2) = 3$. Depois externo: $f(3) = 3^2 = 9$.
The domain of a composition
- The composite is only defined where the chain actually works.
- The value $g(x)$ must be a legal input for $f$ — it must lie in $f$'s domain 定义域.
- If $g$ produces a number $f$ cannot accept, that $x$ is excluded.
- So the composite's domain can be smaller than $g$'s alone.
O domínio de uma composição
- A função composta só está definida onde a cadeia funciona de fato.
- O valor $g(x)$ deve ser uma entrada legal para $f$ — ele deve estar no domínio 定义域 de $f$.
- Se $g$ produz um número que $f$ não pode aceitar, esse $x$ é excluído.
- Então o domínio da composta pode ser menor que o de $g$ sozinho.
For · A favor $g(x)$ to be usable inside $f$, the value $g(x)$ must lie in the ____ of $f$. · Para que $g(x)$ possa ser usado dentro de $f$, o valor $g(x)$ deve estar no ____ de $f$.
The composite is defined only where $g(x)$ is a legal input to $f$ — inside $f$'s domain. · A composição está definida apenas onde $g(x)$ é uma entrada legal para $f$ — dentro do domínio de $f$.
Select all · todos true statements about composition. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre composição.
Order usually does · faz matter — composition is not commutative. The other three are correct. · A ordem geralmente importa — a composição não é comutativa. As outras três estão corretas.
Order matters
- Composition is generally not commutative: $f(g(x)) \neq g(f(x))$.
- "Put on socks, then shoes" is not the same as "shoes, then socks".
- With $f(x)=x^2$, $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ but $g(f(x))=x^2+1$.
- Always respect which function is inner and which is outer.
Ordem importa
- A composição geralmente não é comutativa: $f(g(x)) \neq g(f(x))$.
- "Coloque meias, depois sapatos" não é o mesmo que "sapatos, depois meias".
- Com $f(x)=x^2$ e $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ mas não $g(f(x))=x^2+1$.
- Sempre respeite qual função é interna e qual é externa.
Composition is commutative: $f(g(x))$ always equals $g(f(x))$. · A composição é comutativa: $f(g(x))$ sempre é igual a $g(f(x))$.
Order matters. With $f(x)=x^2$ and · e $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ but $g(f(x))=x^2+1$ — different. · A ordem importa. Com $f(x)=x^2$ e $g(x)=x+1$: $f(g(x))=(x+1)^2$ mas não $g(f(x))=x^2+1$ — são diferentes.
Do not confuse $f(g(x))$ with $f(x)\cdot g(x)$. Composition feeds one function into another; it is not multiplication. And it rarely commutes, so swapping the order usually changes the answer.
Não confunda $f(g(x))$ com $f(x)\cdot g(x)$. Composição alimenta uma função em outra; não é multiplicação. E raramente comuta, então inverter a ordem geralmente muda a resposta.
Let $g(x) = \sqrt{x}$ and $f(x) = x + 3$. Find $(f \circ g)(x)$ and its domain.
- Inner first: $g(x) = \sqrt{x}$, then outer: $f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 3$.
- The square root needs $x \ge 0$, so the domain is $x \ge 0$.
- Even though $f$ alone accepts all reals, the inner $g$ restricts the composite.
Sejam $g(x) = \sqrt{x}$ e $f(x) = x + 3$. Encontre $(f \circ g)(x)$ e seu domínio.
- Interno primeiro: $g(x) = \sqrt{x}$, depois externo: $f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 3$.
- A raiz quadrada precisa de $x \ge 0$, então o domínio é $x \ge 0$.
- Mesmo que $f$ aceite todos os reais sozinho, o interno $g$ restringe a composta.
A composite function $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ chains two functions: the inner $g$ acts first, then $f$. Evaluate inside-out, and remember its domain needs $g(x)$ to be a legal input for $f$. Composition is generally not commutative — order matters.
Uma função composta $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ encadeia duas funções: a interna $g$ atua primeiro, depois $f$. Avalie de dentro para fora, e lembre-se que seu domínio exige que $g(x)$ seja uma entrada legal para $f$. Composição geralmente não é comutativa — a ordem importa.