Rational Functions and Vertical Asymptotes · Funções Racionais e Assíntotas Verticais
| English | Português |
|---|---|
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | denominador |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota vertical |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numerador |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | multiplicidade |
Dividing by almost nothing
- Try $1 \div 0.1 = 10$, then $1 \div 0.01 = 100$, then $1 \div 0.001 = 1000$.
- As the bottom shrinks toward zero, the answer explodes toward infinity.
- A rational function does exactly this near an input that zeroes its denominator.
- The graph rockets up or down along an invisible vertical line.
Dividindo por quase nada
- Tente $1 \div 0.1 = 10$, depois $1 \div 0.01 = 100$, depois $1 \div 0.001 = 1000$.
- À medida que o denominador encolhe em direção a zero, a resposta explode em direção ao infinito.
- Uma função racional faz exatamente isso perto de uma entrada que zera seu denominador.
- O gráfico dispara para cima ou para baixo ao longo de uma linha vertical invisível.
Where the denominator hits zero
- A vertical asymptote 竖直渐近线 is a vertical line the graph races along but never crosses.
- It sits at each input that makes the denominator 分母 zero.
- There the function is undefined, and nearby values grow without limit.
- So to find vertical asymptotes, set the bottom equal to zero and solve.
Onde o denominador atinge zero
- Uma assíntota vertical 竖直渐近线 é uma linha vertical ao longo da qual o gráfico corre mas nunca cruza.
- Ela fica em cada entrada que zera o denominador 分母.
- Ali a função está indefinida, e valores próximos crescem sem limite.
- Então para encontrar assíntotas verticais, iguale o denominador a zero e resolva.
A vertical asymptote of a rational function occurs where… · Uma assíntota vertical de uma função racional ocorre onde…
Dividing by a number heading to $0$ makes the value blow up — so a denominator zero (not cancelled) gives a vertical asymptote. · Dividir por um número tendendo a $0$ faz o valor explodir — logo, um zero do denominador (não cancelado) gera uma assíntota vertical.
…unless the factor cancels
- If a value zeroes the numerator 分子 too, the shared factor cancels.
- Then that input is a hole, not an asymptote.
- So a vertical asymptote needs a denominator zero that survives the cancelling.
- Always simplify first, then read the leftover denominator zeros.
...a menos que o fator cancele
- Se um valor zera o numerador 分子 também, o fator comum cancela.
- Então essa entrada é um buraco, não uma assíntota.
- Portanto, uma assíntota vertical precisa de um zero do denominador que sobreviva ao cancelamento.
- Sempre simplifique primeiro, depois leia os zeros restantes do denominador.
Drag the vertical asymptote left and right · Arraste a assíntota vertical para a esquerda e direita
y = a/(x − b) + c
Change b and the vertical break moves to x = b — the exact input that makes the denominator zero. · Alterar b faz a quebra vertical mover-se para x = b — o exato valor que zera o denominador.
If a value makes both · ambos the numerator and denominator zero, there may be a hole instead of a vertical asymptote. · Se um valor zera tanto o numerador quanto o denominador, pode haver um buraco em vez de uma assíntota vertical.
A shared factor cancels, so that input gives a hole (removable). A vertical asymptote needs the denominator zero to survive. · Um fator comum se cancela, dando um buraco (removível). Uma assíntota vertical precisa que o denominador continue sendo zero.
Behavior on each side
- An asymptote 渐近线 describes a limiting line; here the limits are infinite.
- Just left of the line, $f(x) \to +\infty$ or $-\infty$; just right, the same choice again.
- Written with limits: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ and $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, for example.
- Checking a value very close on each side tells you which way each branch goes.
Comportamento em cada lado
- Uma assíntota 渐近线 descreve uma linha de limite; aqui os limites são infinitos.
- Logo à esquerda da linha, $f(x) \to +\infty$ ou $-\infty$; logo à direita, a mesma escolha novamente.
- Escrito com limites: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ e $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, por exemplo.
- Verificar um valor muito próximo em cada lado diz para qual caminho cada ramo vai.
Near a vertical asymptote, the size of $f(x)$ grows without bound toward ____. · Perto de uma assíntota vertical, o tamanho de $f(x)$ cresce sem limite em direção a ____.
On each side $f(x) \to +\infty$ or · ou $-\infty$; the curve races up or down along the asymptote. · De cada lado $f(x) \to +\infty$ ou $-\infty$; a curva dispara para cima ou para baixo ao longo da assíntota.
Multiplicity sets the pattern
- The multiplicity 重数 of the denominator zero decides the two-sided pattern.
- Odd multiplicity → the sign flips across the line: one side $+\infty$, the other $-\infty$.
- Even multiplicity → the sign is the same: both sides go the same way.
- So $\frac{1}{x-2}$ (multiplicity 1) diverges oppositely, while $\frac{1}{(x-2)^2}$ goes up on both sides.
A multiplicidade define o padrão
- A multiplicidade 重数 do zero do denominador decide o padrão de dois lados.
- Multiplicidade ímpar → o sinal inverte através da linha: um lado $+\infty$, o outro $-\infty$.
- Multiplicidade par → o sinal é o mesmo: ambos os lados vão para o mesmo caminho.
- Então $\frac{1}{x-2}$ (multiplicidade 1) diverge em sentidos opostos, enquanto $\frac{1}{(x-2)^2}$ sobe em ambos os lados.
If a denominator zero has odd multiplicity, the two sides of the asymptote… · Se um zero do denominador tiver multiplicidade ímpar, os dois lados da assíntota…
Odd multiplicity flips the sign as you cross, so the two sides diverge oppositely. Even multiplicity sends both sides the same way. · Multiplicidade ímpar inverte o sinal ao cruzar, fazendo os lados divergirem opostamente. Multiplicidade par envia ambos os lados na mesma direção.
Select all · todos true statements about vertical asymptotes. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre assíntotas verticais.
A graph never crosses its vertical asymptote — it only races alongside it. The other three are correct. · Um gráfico nunca cruza sua assíntota vertical — ele apenas corre ao lado dela. As outras três estão corretas.
A denominator zero is only a vertical asymptote if it does not cancel with the numerator. Check for common factors first — otherwise you will draw an asymptote where there is really just a hole.
Um zero do denominador é apenas uma assíntota vertical se não cancelar com o numerador. Verifique fatores comuns primeiro — caso contrário, desenhará uma assíntota onde há realmente apenas um buraco.
Find the vertical asymptotes of $f(x) = \dfrac{x+1}{(x-3)(x+1)}$.
- Denominator zeros: $x = 3$ and $x = -1$.
- But $x = -1$ also zeroes the numerator, so that factor cancels — a hole, not an asymptote.
- Only $x = 3$ is a vertical asymptote.
Encontre as assíntotas verticais de $f(x) = \dfrac{x+1}{(x-3)(x+1)}$.
- Zeros do denominador: $x = 3$ e $x = -1$.
- Mas $x = -1$ também zera o numerador, então esse fator cancela — um buraco, não uma assíntota.
- Apenas $x = 3$ é uma assíntota vertical.
A vertical asymptote sits at each surviving zero of the denominator — where the graph shoots toward $\pm\infty$. If a factor cancels with the numerator, that input is a hole instead. The multiplicity of the denominator zero decides whether the two sides diverge the same way or oppositely.
Uma assíntota vertical fica em cada zero sobrevivente do denominador — onde o gráfico dispara em direção a $\pm\infty$. Se um fator cancelar com o numerador, essa entrada é um buraco em vez disso. A multiplicidade do zero do denominador decide se os dois lados divergem da mesma maneira ou em sentidos opostos.