Rational Functions and Holes · Funções Racionais e Buracos
| English | Português |
|---|---|
| hole/həʊl/ | buraco |
| factor/ˈfæktə/ | fator |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numerador |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | denominador |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | descontinuidade removível |
| domain/dəˈmeɪn/ | domínio |
A single missing point
- Most rational graphs break dramatically at vertical asymptotes.
- But sometimes the graph is a perfectly ordinary line or curve — with just one point punched out.
- That tiny gap is called a hole, and it is easy to miss.
- It appears for a very specific algebraic reason.
Um único ponto ausente
- A maioria dos gráficos racionais quebra dramaticamente nas assíntotas verticais.
- Mas às vezes o gráfico é uma linha ou curva perfeitamente comum — com apenas um ponto perfurado.
- Essa pequena lacuna é chamada de buraco e é fácil de perder de vista.
- Ela aparece por uma razão algébrica muito específica.
Where holes come from
- A hole 空心 appears when a factor 因式 cancels from both the numerator and the denominator.
- Take $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)}$: the $(x-1)$ cancels, leaving $x+2$.
- The simplified graph is the smooth line $y = x + 2$.
- But at $x = 1$ the original fraction was $\frac{0}{0}$ — undefined — so a point is missing.
De onde vêm os buracos
- Um buraco 空心 aparece quando um fator 因式 cancela de ambos o numerador e o denominador.
- Pegue $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)}$: o $(x-1)$ cancela, deixando $x+2$.
- O gráfico simplificado é a linha suave $y = x + 2$.
- Mas em $x = 1$ a fração original era $\frac{0}{0}$ — indefinido — então um ponto falta.
A hole in a rational graph appears where… · Um buraco em um gráfico racional aparece onde…
A common factor top and bottom cancels, so the simplified graph is smooth — but the original value is still excluded, leaving a hole. · Um fator comum no topo e na base se cancela, tornando o gráfico simplificado suave — mas o valor original ainda está excluído, deixando um buraco.
Hole versus vertical asymptote
- Both come from a denominator 分母 zero, but they behave oppositely.
- Cancels with the numerator 分子 → a removable discontinuity 可去间断点: a hole.
- Does not cancel → a vertical asymptote where the graph shoots off.
- So always factor and simplify first, then see which zeros cancel.
Buraco versus assíntota vertical
- Ambos vêm de um zero do denominador 分母, mas se comportam de forma oposta.
- Cancela com o numerador 分子 → uma descontinuidade removível 可去间断点: um buraco.
- Não cancela → uma assíntota vertical onde o gráfico dispara.
- Então sempre fatore e simplifique primeiro, depois veja quais zeros cancelam.
The simplified function is just a line — with one point removed · A função simplificada é apenas uma reta — com um ponto removido
y = ax + b
This is the simplified form of (x²−1)/(x−1). The graph is the line y = x + 1, but the real function has a hole at x = 1 where the original was undefined. · Esta é a forma simplificada de (x²−1)/(x−1). O gráfico é a reta y = x + 1, mas a função real tem um buraco em x = 1 onde a original era indefinida.
What distinguishes a hole from a vertical asymptote? · O que distingue um buraco de uma assíntota vertical?
Cancelled factor → removable hole; surviving denominator zero → vertical asymptote where values blow up. · Fator cancelado → buraco removível; zero do denominador que permanece → assíntota vertical onde valores explodem.
To find a hole's coordinates, cancel the common factor, then evaluate the ____ function at the excluded value. · Para encontrar as coordenadas de um buraco, cancele o fator comum e avalie a ____ função no valor excluído.
The simplified function gives the y-value the graph would have there — that is the hole's height. · A função simplificada dá o valor de y que o gráfico teria ali — essa é a altura do buraco.
Finding the hole's coordinates
- Cancel the common factor to get the simplified function.
- Substitute the excluded x-value into that simplified function to get the y-value.
- For $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ at $x = 1$: simplified is $x+2$, giving $y = 3$.
- So the hole sits at $(1, 3)$ — the point the graph "should" have passed through.
Encontrando as coordenadas do buraco
- Cancele o fator comum para obter a função simplificada.
- Substitua o valor de x excluído naquela função simplificada para obter o valor de y.
- Para $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ em $x = 1$: a simplificada é $x+2$, resultando em $y = 3$.
- Então o buraco está em $(1, 3)$ — o ponto pelo qual o gráfico "deveria" ter passado.
Even after the factor cancels, the hole's x-value is still excluded from the domain. · Mesmo após o fator se cancelar, o valor x do buraco continua excluído do domínio.
The original function was never defined there, so cancelling in algebra does not add the point back — the domain still has a gap. · A função original nunca foi definida ali, então o cancelamento algébrico não devolve o ponto — o domínio ainda tem uma lacuna.
Select all · todos true statements about a hole. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre um buraco.
A hole does not · não send the function to infinity — that is an asymptote. The other three are true. · Um buraco não envia a função para o infinito — isso é uma assíntota. As outras três são verdadeiras.
Still excluded from the domain
- Cancelling is algebra; it does not restore the missing input.
- The original function was undefined at that x, so it stays out of the domain 定义域.
- The simplified formula agrees with the original everywhere except that one point.
- That is exactly what "removable" means: you can patch the single gap, but it was still there.
Ainda excluído do domínio
- Cancelar é álgebra; não restaura a entrada faltante.
- A função original não estava definida naquele x, então ele permanece fora do domínio 定义域.
- A fórmula simplificada concorda com a original em todos os pontos exceto aquele.
- É exatamente isso que "removível" significa: você pode tampar o único buraco, mas ele ainda existia.
Simplifying $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ to $x+2$ is only valid for $x \neq 1$. Never drop the restriction — the two expressions are equal everywhere except at the hole, and forgetting that loses a point from the domain.
Simplificar $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ para $x+2$ só é válido para $x \neq 1$. Nunca remova a restrição — as duas expressões são iguais em todos os pontos exceto no buraco, e esquecer disso faz perder um ponto do domínio.
Locate any hole of $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
- Factor the top: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$, and cancel $(x-2)$ → simplified $x + 2$.
- Excluded value $x = 2$; simplified value there is $2 + 2 = 4$.
- So there is a hole at $(2, 4)$, and no vertical asymptote.
Localize qualquer buraco de $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
- Fatore o numerador: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$, e cancele $(x-2)$ → simplificado $x + 2$.
- Valor excluído $x = 2$; valor simplificado lá é $2 + 2 = 4$.
- Então há um buraco em $(2, 4)$, e nenhuma assíntota vertical.
A hole is a removable discontinuity: a factor that cancels from numerator and denominator. Find it by simplifying and evaluating at the excluded x-value. The x stays out of the domain — cancelling patches the graph but never adds the point back.
Um buraco é uma descontinuidade removível: um fator que se cancela entre o numerador e o denominador. Encontre-o simplificando e avaliando no valor de x excluído. O x permanece fora do domínio — cancelar tapa o gráfico, mas nunca devolve o ponto.