Rational Functions and Zeros · Funções Racionais e Raízes
| English | Português |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | função racional |
| zeros/ˈzɪərəʊz/ | zeros |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numerador |
| domain/dəˈmeɪn/ | domínio |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | denominador |
When is a fraction zero?
- Think of $\frac{0}{5}$, $\frac{5}{5}$, and $\frac{5}{0}$: only the first is zero.
- A fraction is zero exactly when its top is zero — the bottom just cannot be zero too.
- Rational functions follow the same simple rule.
- So finding their zeros means looking only at the numerator.
Quando uma fração é zero?
- Pense em $\frac{0}{5}$, $\frac{5}{5}$ e $\frac{5}{0}$: apenas o primeiro é zero.
- Uma fração é zero exatamente quando seu numerador é zero — o denominador apenas não pode ser zero também.
- Funções racionais seguem a mesma regra simples.
- Portanto, encontrar seus zeros significa olhar apenas para o numerador.
Zeros come from the numerator
- A rational function 有理函数 is $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- Its zeros 零点 are the inputs that make the whole thing equal $0$.
- That happens only where the numerator 分子 equals $0$.
- So set the top equal to zero and solve — those are your candidate x-intercepts.
Os zeros vêm do numerador
- Uma função racional 有理函数 é $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- Seus zeros 零点 são as entradas que tornam tudo igual a $0$.
- Isso acontece apenas onde o numerador 分子 é igual a $0$.
- Então iguale o numerador a zero e resolva — esses são seus candidatos a interceptações no eixo x.
A fraction equals zero exactly when… · Uma fração é igual a zero exatamente quando…
A fraction is zero only when its top is zero (and its bottom is not). $\frac{0}{5} = 0$, but $\frac{5}{0}$ is undefined. · Uma fração só é zero quando seu topo é zero (e seu fundo não é). $\frac{0}{5} = 0$, mas $\frac{5}{0}$ é indefinido.
…but only if they are allowed
- A candidate zero counts only if the value is in the domain 定义域 of the function.
- If it also makes the denominator 分母 zero, the function is undefined there — no zero.
- So check each numerator zero against the bottom before you trust it.
...mas apenas se forem permitidos
- Um candidato a zero conta apenas se o valor estiver no domínio 定义域 da função.
- Se também zera o denominador 分母, a função está indefinida ali — sem zero.
- Então verifique cada zero do numerador contra o denominador antes de confiá-lo.
Where does it cross, and where does it break? · Onde ela cruza e onde ela quebra?
y = a/(x − b) + c
The curve crosses the x-axis at its zero, but breaks at x = b where the denominator is zero. Those are two different places. · A curva cruza o eixo x em sua raiz, mas quebra em x = b onde o denominador é zero. São dois lugares diferentes.
A numerator zero is a real zero of the function only if that value lies in the ____ of the function. · Uma raiz do numerador é uma raiz real da função apenas se esse valor estiver no ____ da função.
If a value makes both top and bottom zero, it is not in the domain, so it is a hole, not a zero. · Se um valor zera tanto o numerador quanto o denominador, ele não está no domínio, logo é um buraco, não um zero.
Excluded values are not zeros
- A value that makes only the denominator zero is excluded from the domain.
- There the function is undefined — it produces a vertical asymptote or a hole, not a zero.
- Never call an excluded value an x-intercept.
- Zero on top → a zero of the function; zero on the bottom → trouble, not a zero.
Valores excluídos não são zeros
- Um valor que zera apenas o denominador é excluído do domínio.
- Ali a função está indefinida — ela produz uma assíntota vertical ou um buraco, não um zero.
- Nunca chame um valor excluído de interceptação no eixo x.
- Zero no numerador → um zero da função; zero no denominador → problema, não um zero.
A value that makes the denominator zero is a zero of the function. · Um valor que torna o denominador zero é uma raiz da função.
A denominator zero is excluded from the domain — the function is undefined there, not zero. · Um denominador zero é excluído do domínio — a função é indefinida lá, não zero.
Verify by evaluating
- To confirm a zero, substitute the value and check that the function really gives $0$.
- $f(x) = \frac{x-4}{x+1}$ at $x = 4$: $\frac{0}{5} = 0$. Yes — $x = 4$ is a zero.
- The same test rejects an excluded value, because you would be dividing by zero.
- Evaluating is the reliable final check.
Verifique avaliando
- Para confirmar um zero, substitua o valor e verifique se a função realmente resulta em $0$.
- $f(x) = \frac{x-4}{x+1}$ em $x = 4$: $\frac{0}{5} = 0$. Sim — $x = 4$ é um zero.
- O mesmo teste rejeita um valor excluído, porque você estaria dividindo por zero.
- Avaliar é o teste final confiável.
How many zeros does $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2+1}$ have? · Quantos zeros tem $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2+1}$?
The numerator is zero at $x = 3$ and · e $x = -2$; the denominator $x^2+1$ is never zero, so both are valid — $2$ zeros. · O numerador é zero em $x = 3$ e $x = -2$; o denominador $x^2+1$ nunca é zero, então ambos são válidos — $2$ zeros.
Select all · todos true statements about zeros of a rational function. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre os zeros de uma função racional.
A denominator zero is excluded, not an x-intercept. The other three are correct. · Um zero do denominador é excluído, não um intercepto x. As outras três estão corretas.
Do not confuse a numerator zero (a real zero, an x-intercept) with a denominator zero (an excluded value). They are opposite: one is where the graph touches the axis, the other is where the graph breaks.
Não confunda um zero de numerador (um zero real, uma interceptação no eixo x) com um zero de denominador (um valor excluído). Eles são opostos: um é onde o gráfico toca o eixo, o outro é onde o gráfico quebra.
Find the zeros of $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$.
- Numerator zero candidates: $x = 2$ and $x = -3$.
- But $x = 2$ also makes the denominator zero, so it is excluded — a hole, not a zero.
- Only $x = -3$ is a real zero of the function.
Encontre os zeros de $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$.
- Candidatos a zero do numerador: $x = 2$ e $x = -3$.
- Mas $x = 2$ também zera o denominador, então ele é excluído — um buraco, não um zero.
- Apenas $x = -3$ é um zero real da função.
The zeros of a rational function are the zeros of its numerator that lie in the domain. A value that makes the denominator zero is excluded, not a zero. Always check numerator zeros against the bottom, and verify by evaluating.
Os zeros de uma função racional são os zeros de seu numerador que estão no domínio. Um valor que zera o denominador é excluído, não um zero. Sempre verifique os zeros do numerador contra o denominador e verifique avaliando.