Rational Functions and End Behavior · Funções Racionais e Comportamento Final
| English | Português |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | função racional |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numerador |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | denominador |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota horizontal |
| slant asymptote/slænt ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota oblíqua |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | divisão longa de polinômios |
A tug-of-war between top and bottom
- A fraction like $\frac{2x^2}{x^2+1}$ has a polynomial pulling from the top and one from the bottom.
- Far from the origin, whichever grows faster decides where the value settles.
- The result is often a flat line the graph hugs but never quite reaches.
- Reading that line is how you describe a rational function's ends.
Uma guerra de tração entre topo e fundo
- Uma fração como $\frac{2x^2}{x^2+1}$ tem um polinômio puxando de cima e outro de baixo.
- Longe da origem, quem cresce mais rápido decide para onde o valor se estabiliza.
- O resultado é frequentemente uma linha plana que o gráfico abraça, mas nunca atinge.
- Ler essa linha é como descrever os extremos de uma função racional.
What a rational function is
- A rational function 有理函数 is one polynomial divided by another: $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- The numerator 分子 is the top; the denominator 分母 is the bottom.
- Its end behavior is a contest between the two degrees.
- Compare the highest powers of top and bottom — that alone sets the ends.
O que é uma função racional
- Uma função racional 有理函数 é um polinômio dividido por outro: $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- O numerador 分子 é o topo; o denominador 分母 é o fundo.
- Seu comportamento final é uma disputa entre os dois graus.
- Compare as potências mais altas do numerador e denominador — isso por si só define os extremos.
Compare the degrees
- Bottom bigger: the fraction shrinks toward $0$, so $y = 0$ is a horizontal asymptote 水平渐近线.
- Equal degrees: the ends approach the ratio of the leading coefficients.
- Top bigger by one: the ends follow a slant asymptote 斜渐近线 (a tilted line).
- Top bigger by more: no asymptote — it grows like a polynomial.
Compare os graus
- Base maior: a fração encolhe em direção a $0$, então $y = 0$ é uma assíntota horizontal 水平渐近线.
- Graus iguais: os extremos aproximam-se da razão dos coeficientes principais.
- Numerador maior em um: os extremos seguem uma assíntota oblíqua 斜渐近线 (uma linha inclinada).
- Numerador maior em mais de um: não há assíntota; o gráfico cresce como um polinômio.
Slide the horizontal asymptote up and down · Deslize a assintótica horizontal para cima e para baixo
y = a/(x − b) + c
Change c and the whole curve levels off at a new height y = c far out — that horizontal line is the end behavior. · Altere c e toda a curva nivelará em uma nova altura y = c longe — aquela linha horizontal é o comportamento final.
If the denominator has a higher degree than the numerator, the end behavior approaches… · Se o denominador tem grau maior que o numerador, o comportamento final aproxima-se de…
A bigger bottom overpowers the top, so the fraction shrinks toward $0$: the x-axis is a horizontal asymptote. · Um denominador maior domina o numerador, então a fração diminui em direção a $0$: o eixo x é uma assintótica horizontal.
If numerator and denominator have equal · iguais degrees, the horizontal asymptote is… · Se numerador e denominador têm graus iguais, a assintótica horizontal é…
For · A favor $\frac{3x^2+\dots}{x^2+\dots}$ the ends approach $y = 3/1 = 3$ — the ratio of the leading coefficients. · Para $\frac{3x^2+\dots}{x^2+\dots}$ as extremidades aproximam-se de $y = 3/1 = 3$ — a razão dos coeficientes líderes.
The horizontal or slant line
- An asymptote 渐近线 is a line the graph approaches but never crosses far out.
- Same degree → horizontal asymptote at a non-zero height; bottom wins → horizontal asymptote at $y = 0$.
- Degree of top one more than bottom → a slant asymptote instead of a horizontal one.
- Either way, the ends of the graph settle onto that line.
A linha horizontal ou oblíqua
- Uma assíntota 渐近线 é uma linha que o gráfico se aproxima mas nunca cruza à distância.
- Mesmo grau → assíntota horizontal em altura não nula; denominador maior → assíntota horizontal em $y = 0$.
- Grau do numerador um a mais que o denominador → uma assíntota oblíqua em vez de horizontal.
- De qualquer forma, os extremos do gráfico estabilizam-se sobre essa linha.
When the numerator degree is exactly one more than the denominator, the graph has a ____ asymptote. · Quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador, o gráfico tem uma assintótica ____.
The end behavior follows a tilted line — a slant asymptote — which polynomial long division reveals. · O comportamento final segue uma linha inclinada — uma assintótica oblíqua — revelada pela divisão longa de polinômios.
Which end-behavior outcomes are possible for a rational function? · Quais resultados de comportamento final são possíveis para uma função racional?
A rational function can have a horizontal asymptote, a slant asymptote, or neither — but never two at the same end. · Uma função racional pode ter uma assintótica horizontal, uma assintótica oblíqua, ou nenhuma — mas nunca duas na mesma extremidade.
Long division makes it obvious
- Polynomial long division 多项式长除法 rewrites $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ as quotient $+$ remainder/bottom.
- Far out, the remainder term vanishes, leaving just the quotient.
- If the quotient is a number, that is the horizontal asymptote; if it is a line, that is the slant asymptote.
- Limits say the same thing: $\lim_{x\to\infty} f(x)$ equals that quotient.
A divisão longa torna isso óbvio
- Divisão longa de polinômios 多项式长除法 reescreve $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ como quociente $+$ resto/denominador.
- Longe da origem, o termo do resto desaparece, restando apenas o quociente.
- Se o quociente for um número, essa é a assíntota horizontal; se for uma linha, essa é a assíntota oblíqua.
- Limites dizem o mesmo: $\lim_{x\to\infty} f(x)$ iguala-se a esse quociente.
Polynomial long division can rewrite a rational function to reveal its asymptotic behavior. · A divisão longa de polinômios pode reescrever uma função racional para revelar seu comportamento assintótico.
Dividing gives "quotient + remainder/denominator"; the quotient is the line or curve the ends follow. · A divisão resulta em "quociente + resto/denominador"; o quociente é a linha ou curva que as extremidades seguem.
Only the leading terms of the top and bottom control end behavior — the smaller terms fade away far from the origin. So compare degrees first; do not be distracted by the constants or middle terms.
Apenas os termos principais do numerador e denominador controlam o comportamento final — os termos menores desaparecem longe da origem. Portanto, compare os graus primeiro; não se distraia com as constantes ou termos intermediários.
Find the end behavior of $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{x^2 + 4}$.
- Top and bottom both have degree $2$ — an equal-degree tie.
- The horizontal asymptote is the ratio of leading coefficients: $y = \frac{3}{1} = 3$.
- So $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$: the graph flattens toward the line $y = 3$.
Encontre o comportamento final de $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{x^2 + 4}$.
- Numerador e denominador ambos têm grau $2$ — uma empate de graus iguais.
- A assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais: $y = \frac{3}{1} = 3$.
- Então para $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$: o gráfico achatiza-se em direção à linha $y = 3$.
For a rational function, compare the degrees of numerator and denominator: bottom bigger → horizontal asymptote $y = 0$; equal → horizontal asymptote at the ratio of leading coefficients; top bigger by one → slant asymptote. Polynomial long division reveals the line the ends follow.
Para uma função racional, compare os graus do numerador e denominador: denominador maior → assíntota horizontal $y = 0$; igual → assíntota horizontal na razão dos coeficientes principais; numerador maior em um → assíntota oblíqua. A divisão longa de polinômios revela a linha que os extremos seguem.