Rates of Change · Taxas de Variação
| English | Português |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taxa de variação |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taxa média de variação |
| interval/ˈɪntəvl/ | intervalo |
| slope/sləʊp/ | inclinação |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | reta secante |
| constant/ˈkɒnstənt/ | constante |
How fast, exactly?
- A car's speedometer answers a question the odometer cannot: not how far, but how fast right now.
- "How fast is the output changing?" is the central question of this whole course.
- The answer is a number called a rate of change 变化率.
- This lesson measures it two ways: over a stretch, and at a single instant.
Com que velocidade, exatamente?
- O velocímetro de um carro responde a uma pergunta que o hodômetro não pode: não quanto percorreu, mas com que velocidade agora mesmo.
- "Com que velocidade a saída está mudando?" é a questão central de todo este curso.
- A resposta é um número chamado taxa de variação 变化率.
- Esta aula mede isso de duas formas: sobre um trecho e em um instante único.
Average rate of change
- Over an interval 区间 from $x = a$ to $x = b$, compare how much the output changed to how much the input changed.
- The average rate of change 平均变化率 is $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — change in output over change in input.
- It is a ratio, so it always carries units: metres per second, dollars per year, °C per minute.
- Example in words: if temperature rose 12°C over 4 hours, the average rate was 3°C per hour.
Taxa média de variação
- Sobre um intervalo 区间 de $x = a$ a $x = b$, compare quanto a saída mudou com quanto a entrada mudou.
- A taxa de variação média 平均变化率 é $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — variação da saída dividida pela variação da entrada.
- É uma razão, então sempre carrega unidades: metros por segundo, dólares por ano, °C por minuto.
- Exemplo em palavras: se a temperatura subiu 12°C em 4 horas, a taxa média foi de 3°C por hora.
The · A average rate of change of $f$ over the interval $[a, b]$ equals… · A taxa média de variação de $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é igual a…
It is the change in output divided by the change in input — a ratio, so it carries units of output per unit of input. · É a alteração na saída dividida pela alteração na entrada — uma razão, portanto carrega unidades de saída por unidade de entrada.
It is the slope of a secant line
- Draw the straight line joining the two endpoints $(a, f(a))$ and $(b, f(b))$: that is the secant line 割线.
- Its slope 斜率 — rise over run — is exactly the average rate of change.
- Steeper secant → faster average change; a downhill secant → a negative rate.
É a inclinação de uma reta secante
- Desenhe a linha reta que une os dois pontos extremos $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$: essa é a reta secante 割线.
- Sua inclinação 斜率 — elevação sobre distância horizontal — é exatamente a taxa de variação média.
- Secante mais íngreme → mudança média mais rápida; uma secante descendente → uma taxa negativa.
A runner's distance is $f(t)$ metres. If $f(2) = 10$ and · e $f(5) = 40$, what is the average speed over $[2, 5]$? · A distância de um corredor é $f(t)$ metros. Se $f(2) = 10$ e $f(5) = 40$, qual é a velocidade média sobre $[2, 5]$?
Average speed $= \dfrac{40 - 10}{5 - 2} = \dfrac{30}{3} = 10$ m/s — the secant slope over that interval. · Velocidade média $= \dfrac{40 - 10}{5 - 2} = \dfrac{30}{3} = 10$ m/s — a inclinação da secante sobre aquele intervalo.
On a graph, the average rate of change over $[a, b]$ is the slope of the… · Em um gráfico, a taxa média de variação sobre $[a, b]$ é a inclinação da…
The · A secant line joins $(a, f(a))$ and · e $(b, f(b))$; its slope is exactly the average rate of change. · A linha secante une $(a, f(a))$ e $(b, f(b))$; sua inclinação é exatamente a taxa média de variação.
The rate at a single point
- A secant needs two points. To get the rate at just one point, shrink the interval.
- Take average rates over smaller and smaller intervals around the point.
- As the interval closes toward zero, the secant tips over into a tangent — its slope is the rate at that exact point.
- This "rate at an instant" is the idea that grows into calculus next year.
A taxa em um único ponto
- Uma secante precisa de dois pontos. Para obter a taxa em apenas um ponto, encolha o intervalo.
- Calcule taxas médias sobre intervalos cada vez menores ao redor do ponto.
- À medida que o intervalo se fecha em direção a zero, a secante vira uma tangente — sua inclinação é a taxa naquele ponto exato.
- Essa "taxa num instante" é a ideia que dará origem ao cálculo no próximo ano.
Shrink the interval until the secant becomes a tangent · Reduza o intervalo até que a secante se torne uma tangente
f(x) = 0.5x²
Drag the point to read the slope at a single spot — this is the limit of the average rate of change as the interval shrinks to zero. · Arraste o ponto para ler a inclinação em um único ponto — este é o limite da taxa média de variação à medida que o intervalo encolhe para zero.
To estimate the rate of change at a single point, average rates are taken over very ____ intervals around it. · Para estimar a taxa de variação em um único ponto, usam-se taxas médias sobre intervalos muito ____ ao redor dele.
As the interval shrinks toward zero, the secant slope approaches the slope at that exact point. · À medida que o intervalo encolhe em direção a zero, a inclinação da secante aproxima-se da inclinação naquele ponto exato.
Sign, size, and units
- A positive rate means the output is rising; a negative rate means it is falling; zero means no change.
- A bigger number (ignoring sign) means faster change.
- For a straight line the rate is the same everywhere — it is constant 常数.
- Always state the units: a rate of change with no units is only half an answer.
Sinal, magnitude e unidades
- Uma taxa positiva significa que a saída está subindo; uma taxa negativa significa que está descendo; zero significa nenhuma mudança.
- Um número maior (ignorando o sinal) significa uma mudança mais rápida.
- Para uma linha reta, a taxa é a mesma em todos os lugares — ela é constante 常数.
- Sempre declare as unidades: uma taxa de variação sem unidades é apenas meia resposta.
A negative · negativo average rate of change means the output decreased over the interval. · Uma taxa média de variação negativa significa que a saída diminuiu durante o intervalo.
A negative ratio means the output ended lower than it started — the function fell, on average, across the interval. · Uma razão negativa significa que a saída terminou mais baixa do que começou — a função caiu, em média, através do intervalo.
Select all · todos true statements about average rate of change. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre taxa média de variação.
It can be positive, negative, or zero. Everything else is true: it is a slope, it carries units, and it approximates a point rate over small intervals. · Pode ser positiva, negativa ou zero. Tudo o resto é verdadeiro: é uma inclinação, possui unidades e aproxima uma taxa pontual sobre intervalos pequenos.
Average rate of change is about the two endpoints only — it ignores everything in between. A hiker who climbs then descends back to the same height has an average rate of zero, even though they were moving the whole time.
A taxa de variação média refere-se apenas aos dois pontos extremos — ignora tudo o que está no meio. Um caminhante que sobe e depois desce de volta para a mesma altura tem uma taxa média de zero, mesmo tendo estado em movimento o tempo todo.
A car travels 150 km between 1:00 and 3:00.
- Average speed $= \dfrac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75$ km/h.
- That is the secant slope of the distance–time graph over those two hours.
- The car's actual speed changed constantly — 75 km/h is just the average.
Um carro viaja 150 km entre 1:00 e 3:00.
- Velocidade média $= \dfrac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75$ km/h.
- Essa é a inclinação da secante do gráfico distância-tempo nesses dois horas.
- A velocidade real do carro mudou constantemente — 75 km/h é apenas a média.
The average rate of change over $[a, b]$ is $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, the slope of the secant line through the endpoints. Shrink the interval toward zero and it becomes the rate at a single point. Always report the units.
A taxa de variação média sobre $[a, b]$ é $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, a inclinação da reta secante pelos pontos extremos. Encolha o intervalo em direção a zero e ela se torna a taxa em um único ponto. Sempre relate as unidades.