Rates of Change in Linear and Quadratic Functions · Taxas de Variação em Funções Lineares e Quadráticas
| English | Português |
|---|---|
| quadratic function/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃn/ | função quadrática |
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | função linear |
| constant/ˈkɒnstənt/ | constante |
| slope/sləʊp/ | inclinação |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taxa média de variação |
Two kinds of climb
- An escalator lifts you at a steady pace: every second gains the same height.
- A jet on the runway is different: each second it gains more speed than the last.
- Both are "increasing", but the way they change is completely different.
- Linear and quadratic functions are the first two members of this story.
Dois tipos de subida
- Um escadaria rolante te levanta a um ritmo constante: a cada segundo você ganha a mesma altura.
- Um jato na pista é diferente: a cada segundo ele ganha mais velocidade que o anterior.
- Ambos estão "crescendo", mas a maneira como mudam é completamente diferente.
- Funções lineares e quadráticas são os primeiros dois membros desta história.
A linear function: constant rate
- A linear function 线性函数 graphs as a straight line.
- Its slope 斜率 is the same everywhere, so its average rate of change 平均变化率 is the same over any interval.
- Over $[0, 2]$ or $[10, 12]$ or any other stretch — you always get the identical number.
- That single unchanging rate is what "linear" really means.
Uma função linear: taxa constante
- Uma função linear 线性函数 grafica-se como uma linha reta.
- Sua inclinação 斜率 é a mesma em todos os lugares, então sua taxa de variação média 平均变化率 é a mesma sobre qualquer intervalo.
- Sobre $[0, 2]$ ou $[10, 12]$ ou qualquer outro trecho — você sempre obtém o mesmo número idêntico.
- Essa única taxa inalterável é o que "linear" realmente significa.
The average rate of change of a linear function over any interval is… · A taxa média de variação de uma função linear sobre qualquer intervalo é…
A straight line has one fixed slope, so the average rate of change is the same over every interval — that is what makes it linear. · Uma linha reta tem uma única inclinação fixa, então a taxa média de variação é a mesma sobre qualquer intervalo — isso é o que a torna linear.
A quadratic function: a changing rate
- A quadratic function 二次函数 graphs as a curved parabola.
- Because it bends, its slope is different at different places — the rate of change keeps changing.
- Near the vertex it is nearly flat; far from the vertex it is steep.
- So its average rate of change depends on which interval you pick.
Uma função quadrática: uma taxa que muda
- Uma função quadrática 二次函数 grafica-se como uma parábola curva.
- Como ela se curva, sua inclinação é diferente em diferentes lugares — a taxa de variação continua mudando.
- Perto do vértice ela é quase plana; longe do vértice é íngreme.
- Então sua taxa de variação média depende de qual intervalo você escolhe.
One slider turns a parabola into a straight line · Um controle deslizante transforma uma parábola em uma linha reta
y = ax² + bx + c
Set a = 0 to get a straight line — its slope is constant. Make a ≠ 0 and the curve bends, so now the rate of change keeps changing. · Defina a = 0 para obter uma linha reta — sua inclinação é constante. Defina a ≠ 0 e a curva se dobra, então agora a taxa de variação continua mudando.
For a quadratic function, the average rate of change is the same over every interval. · Para uma função quadrática, a taxa média de variação é a mesma em todo intervalo.
A parabola bends, so its slope keeps changing — different intervals give different average rates of change. · Uma parábola se curva, então sua inclinação continua mudando — intervalos diferentes fornecem taxas médias de variação diferentes.
Equal steps reveal the pattern
- Take equal steps in the input and list the outputs of $y = x^2$: $0, 1, 4, 9, 16$.
- The jumps between them — the first differences — are $1, 3, 5, 7$.
- Those jumps are not constant, but they grow by the same amount ($2$) every time.
- So a quadratic's rate of change is not fixed, yet it changes in a perfectly steady, linear way.
Passos iguais revelam o padrão
- Dê passos iguais na entrada e liste as saídas de $y = x^2$: $0, 1, 4, 9, 16$.
- Os saltos entre elas — as primeiras diferenças — são $1, 3, 5, 7$.
- Esses saltos não são constantes, mas crescem na mesma quantidade ($2$) a cada vez.
- Então a taxa de variação de uma quadrática não é fixa, porém muda de forma perfeitamente constante e linear.
For · A favor $y = x^2$, the first differences at $x = 1, 2, 3$ are $3, 5, 7$. By what constant amount do they grow each step? · Para $y = x^2$, as primeiras diferenças em $x = 1, 2, 3$ são $3, 5, 7$. Em que quantidade constante elas crescem a cada passo?
$5 - 3 = 2$ and · e $7 - 5 = 2$. This constant second difference is the fingerprint of a quadratic. · $5 - 3 = 2$ e $7 - 5 = 2$. Essa segunda diferença constante é a assinatura de uma função quadrática.
For a quadratic, equal steps in $x$ give first differences that… · Para uma quadrática, passos iguais em $x$ geram primeiras diferenças que…
The first differences themselves form a linear pattern — they grow by the same amount each step. (Doubling each time would be exponential.) · As próprias primeiras diferenças formam um padrão linear — elas crescem na mesma quantidade a cada passo. (Dobrar a cada vez seria exponencial.)
Every average rate is a secant slope
- Whichever function you have, the average rate of change over $[a, b]$ is the slope of the secant line through its endpoints.
- For a line, every secant lies right on top of the graph — same slope every time.
- For a parabola, each secant tilts differently — that is the visible sign of a changing rate.
- Reading secant slopes is how you compare how two functions change.
Toda taxa média é uma inclinação de secante
- Independente da função que você tenha, a taxa de variação média sobre $[a, b]$ é a inclinação da reta secante pelos seus pontos extremos.
- Para uma linha, toda secante fica exatamente sobre o gráfico — mesma inclinação a cada vez.
- Para uma parábola, cada secante se inclina de forma diferente — esse é o sinal visível de uma taxa que muda.
- Ler as inclinações das secantes é como você compara como duas funções mudam.
Put the steps for finding an average rate of change over $[a, b]$ in order. · Organize os passos para encontrar uma taxa média de variação sobre $[a, b]$.
Outputs first, then their difference, then divide by the input difference — that is the secant slope. · Saídas primeiro, depois sua diferença, depois divida pela diferença de entrada — essa é a inclinação da secante.
Select all · todos true statements. · Selecione todas as afirmações verdadeiras.
A quadratic's rate is not · não constant — it changes steadily (its second difference is constant). The other three statements are true. · A taxa de uma quadrática não é constante — ela muda constantemente (sua segunda diferença é constante). As outras três afirmações são verdadeiras.
Do not call a quadratic's rate "constant" just because the pattern is predictable. The rate itself changes from interval to interval; it is the change in the rate that is constant. For a straight line, that change in the rate is zero.
Não chame a taxa de uma quadrática de "constante" apenas porque o padrão é previsível. A taxa em si muda de intervalo para intervalo; é a mudança na taxa que é constante. Para uma linha reta, essa mudança na taxa é zero.
A dropped ball falls a distance $d = 5t^2$ metres after $t$ seconds.
- Distances at $t = 0, 1, 2, 3$: $0, 5, 20, 45$ metres.
- First differences (distance each second): $5, 15, 25$ — growing by a constant $10$.
- The ball's speed rises linearly even though the distance is quadratic.
Uma bola caída cai uma distância $d = 5t^2$ metros após $t$ segundos.
- Distâncias em $t = 0, 1, 2, 3$: $0, 5, 20, 45$ metros.
- Primeiras diferenças (distância a cada segundo): $5, 15, 25$ — crescendo por uma constante $10$.
- A velocidade da bola aumenta linearmente, mesmo que a distância seja quadrática.
A linear function changes at one constant rate — every secant has the same slope. A quadratic function's rate of change is not constant: over equal steps its first differences grow by a fixed amount, so the rate changes steadily. The average rate of change over $[a, b]$ is always the secant slope.
Uma função linear muda a uma taxa constante — todas as secantes têm a mesma inclinação. A taxa de variação de uma função quadrática não é constante: em intervalos iguais, suas primeiras diferenças crescem em quantidade fixa, logo a taxa muda consistentemente. A taxa média de variação sobre $[a, b]$ é sempre a inclinação da secante.