Change in Tandem · Alteração em Tandem
| English | Português |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | entrada |
| output/ˈaʊtpʊt/ | produção |
| increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ | crescendo |
| decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/ | decrescendo |
| constant/ˈkɒnstənt/ | constante |
| interval/ˈɪntəvl/ | intervalo |
| concavity/kənˈkævɪti/ | concavidade |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taxa de variação |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | côncava para cima |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | côncava para baixo |
| turning point/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnt/ | ponto de inversão |
| local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ | máximo local |
| local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ | mínimo local |
Watch the water climb
- Pour water into a glass at a steady rate and watch the level rise.
- In a straight glass the level climbs steadily; in a curvy vase it speeds up and slows down.
- Two quantities — the water poured and the height — change together, in tandem.
- Precalculus starts by describing exactly how one quantity changes as another one does.
Observe a água subir
- Despeje água em um copo a uma taxa constante e observe o nível subir.
- Em um copo reto, o nível sobe uniformemente; em uma jarra curva, ele acelera e desacelera.
- Duas grandezas — a água despejada e a altura — mudam juntas, em tandem.
- O pré-cálculo começa descrevendo exatamente como uma grandeza muda enquanto outra o faz.
A function links an input to an output
- A function takes an input 输入 (a value of $x$) and returns exactly one output 输出 (written $f(x)$).
- As the input changes, the output changes with it — that is change in tandem.
- We write $f(2)$ to mean "the output when the input is $2$".
- So the whole story of a function is one question: as $x$ moves, where does $f(x)$ go?
Uma função conecta uma entrada a uma saída
- Uma função recebe uma entrada 输入 (um valor de $x$) e retorna exatamente uma saída 输出 (escrita $f(x)$).
- À medida que a entrada muda, a saída também muda com ela — isso é mudar em tandem.
- Escrevemos $f(2)$ para significar "a saída quando a entrada é $2$".
- Então, toda a história de uma função é uma única pergunta: à medida que $x$ se move, para onde vai $f(x)$?
Increasing, decreasing, or constant
- Pick an interval 区间 — a stretch of the input axis — and follow the output from left to right.
- The function is increasing 递增 where the output rises as the input moves right.
- It is decreasing 递减 where the output falls as the input moves right.
- It is constant 常数 where the output stays level.
- You can read this straight off a graph: uphill is increasing, downhill is decreasing.
Crescente, decrescente ou constante
- Escolha um intervalo 区间 — um trecho do eixo das entradas — e siga a saída da esquerda para a direita.
- A função é crescente 递增 onde a saída sobe à medida que a entrada se move para a direita.
- Ela é decrescente 递减 onde a saída desce à medida que a entrada se move para a direita.
- Ela é constante 常数 onde a saída permanece nivelada.
- Você pode ler isso diretamente em um gráfico: subida é crescente, descida é decrescente.
A function is increasing on an interval when… · Uma função é crescente em um intervalo quando…
Increasing is about direction, not size: move right along the input and the output climbs. It can be increasing while its values are still negative. · Crescer trata-se de direção, não de tamanho: mova-se para a direita ao longo da entrada e a saída sobe. Ela pode estar crescendo mesmo com valores ainda negativos.
If a graph is perfectly flat (horizontal) over an interval, the function is constant · constante there. · Se um gráfico for perfeitamente plano (horizontal) sobre um intervalo, a função é constante ali.
A flat graph means the output does not change as the input changes — that is exactly what constant means. · Um gráfico plano significa que a saída não muda à medida que a entrada muda — isso é exatamente o que constante significa.
Concavity: is the change speeding up or slowing down?
- Even while a curve keeps increasing, its rate of change 变化率 (how fast the output moves) can itself change.
- Concavity 凹凸性 describes which way the curve bends.
- Concave up 凹 — the curve bends upward like a cup, so the rate of change is increasing.
- Concave down 凸 — the curve bends downward like a dome, so the rate of change is decreasing.
- The curvy vase again: where it narrows, the height climbs faster and faster (concave up).
Concavidade: a mudança está acelerando ou desacelerando?
- Mesmo enquanto uma curva continua crescendo, sua taxa de variação 变化率 (a velocidade com que a saída se move) pode, por si só, mudar.
- Concavidade 凹凸性 descreve para qual lado a curva se curva.
- Côncava para cima 凹 — a curva se curva para cima como uma taça, então a taxa de variação está aumentando.
- Côncava para baixo 凸 — a curva se curva para baixo como uma cúpula, então a taxa de variação está diminuindo.
- A jarra curva novamente: onde ela estreita, a altura sobe cada vez mais rápido (côncava para cima).
Saying a curve is concave up tells you that… · Dizer que uma curva é ** côncava para cima** indica que…
Concave up bends like a cup: the rate of change itself is rising. A curve can be concave up while it is going down — think of a slide flattening out at the bottom. · Côncava para cima curva como uma taça: a taxa de variação em si está subindo. Uma curva pode ser côncava para cima enquanto desce — pense em um escorregador suavizando no fundo.
Turning points: local maxima and minima
- Where a curve stops increasing and starts decreasing, it reaches a local maximum 极大值 — a peak.
- Where it stops decreasing and starts increasing, it reaches a local minimum 极小值 — a valley.
- Each such peak or valley is a turning point 转折点.
- "Local" means highest or lowest nearby — not necessarily over the whole graph.
Pontos de virada: máximos e mínimos locais
- Onde uma curva deixa de crescer e passa a decrescer, ela atinge um máximo local 极大值 — um pico.
- Onde ela deixa de decrescer e passa a crescer, ela atinge um mínimo local 极小值 — um vale.
- Cada um desses picos ou vales é um ponto de virada 转折点.
- "Local" significa o mais alto ou mais baixo perto — não necessariamente sobre todo o gráfico.
The tangent's slope IS the rate of change · A inclinação da tangente É a taxa de variação
f(x) = x³ − 3x
Drag the point and read the tangent's slope — positive where the curve rises, negative where it falls, and zero at a turning point. · Arraste o ponto e leia a inclinação da tangente — positiva onde a curva sobe, negativa onde desce e zero em um ponto de inversão.
A point where a graph stops increasing and starts decreasing is a local ____. · Um ponto onde um gráfico deixa de crescer e começa a decrescer é um local ____.
At a local maximum the curve turns from uphill to downhill — a peak that is highest compared with nearby points. · Em um máximo local, a curva vira de subida para descida — um pico que é o mais alto comparado com pontos próximos.
Look at the curve in the figure. Select all · todos the true statements. · Olhe para a curva na figura. Selecione todas as afirmações verdadeiras.
The curve rises, turns at a peak, falls to a valley, then rises again. It is not · não concave up everywhere — it bends down near the peak and up near the valley. · A curva sobe, vira em um pico, desce até um vale, depois sobe novamente. Ela não é côncava para cima em todo lugar — ela curva para baixo perto do pico e para cima perto do vale.
"Increasing" and "concave up" are different ideas. Increasing is about the output going up; concave up is about the rate of change going up. A curve can be decreasing and concave up at the same time — falling, but flattening out as it falls.
"Crescente" e "côncava para cima" são ideias diferentes. Crescente refere-se à saída subindo; côncava para cima refere-se à taxa de variação subindo. Uma curva pode ser decrescente e côncava para cima ao mesmo tempo — caindo, mas aplanando-se conforme cai.
Comparing two outputs
- To compare a function at two inputs $a$ and $b$, compare their outputs $f(a)$ and $f(b)$.
- If $b > a$ and $f(b) > f(a)$, the output grew as the input grew.
- The net change in output from $a$ to $b$ is simply $f(b) - f(a)$.
- If the function returns to the same value, the net change is zero — even if it rose and fell along the way.
Comparando duas saídas
- Para comparar uma função em duas entradas $a$ e $b$, compare suas saídas $f(a)$ e $f(b)$.
- Se $b > a$ e $f(b) > f(a)$, a saída cresceu à medida que a entrada cresceu.
- A variação líquida na saída de $a$ para $b$ é simplesmente $f(b) - f(a)$.
- Se a função retorna ao mesmo valor, a variação líquida é zero — mesmo que tenha subido e descido no caminho.
A function has $f(2) = 5$ and · e $f(6) = 5$. What is the net change in output from $x = 2$ to · até $x = 6$? · Uma função tem $f(2) = 5$ e $f(6) = 5$. Qual é a alteração líquida na saída de $x = 2$ a $x = 6$?
Net change $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$. The output ended where it started — even though it may have risen and fallen in between. · Alteração líquida $= f(6) - f(2) = 5 - 5 = 0$. A saída terminou onde começou — mesmo que tenha subido e caído no meio.
Match each term to what it describes. · Combine cada termo com o que ele descreve.
Increasing/decreasing describe the output's direction; concavity describes how the rate of change itself is changing; a local maximum is where the direction flips. · Crescer/Decrescer descrevem a direção da saída; concavidade descreve como a taxa de variação em si está mudando; um máximo local é onde a direção inverte.
A cup of tea cools from 90°C to room temperature.
- Temperature (output) is decreasing the whole time — it never goes back up.
- But it falls fast at first, then slowly: the curve is concave up.
- There is no local maximum or minimum in between — the direction never flips.
Uma xícara de chá esfria de 90°C para a temperatura ambiente.
- A temperatura (saída) está decrescendo o tempo todo — nunca volta a subir.
- Mas ela cai rápido no início, depois devagar: a curva é côncava para cima.
- Não há máximo nem mínimo local entre eles — a direção nunca inverte.
A function's behaviour is read from its graph: it is increasing or decreasing on intervals, its concavity tells you whether the rate of change is speeding up or slowing down, and its turning points are the local maxima and minima where the direction flips.
O comportamento de uma função é lido a partir de seu gráfico: ele é crescente ou decrescente em intervalos, sua concavidade diz se a taxa de variação está acelerando ou desacelerando, e seus pontos de virada são os máximos e mínimos locais onde a direção inverte.