Representing and Analyzing SHM · Representação e Análise do MSO
SHM draws a perfect sine wave in time
- Track an oscillating mass and plot its position against time — you get a smooth, repeating wave.
- Not a jagged zig-zag, but the graceful curve of a sine or cosine.
- That shape is the fingerprint of simple harmonic motion, and it lets us predict every instant.
- Reading it tells you position, velocity and acceleration at a glance.
SHM desenha uma onda senoidal perfeita no tempo
- Rastreie uma massa oscilante e plote sua posição contra o tempo — você obterá uma onda suave e repetitiva.
- Não um ziguezague irregular, mas a curva elegante de um seno ou cosseno.
- Essa forma é a impressão digital do movimento harmônico simples, e nos permite prever cada instante.
- Lê-la revela posição, velocidade e aceleração de uma só olhada.
The equation of motion
- Starting from the maximum, position follows $x(t) = A\cos(\omega t)$.
- $A$ is the amplitude (the maximum displacement) and $\omega = 2\pi f$ is the angular frequency.
- After one period $T$ the curve repeats exactly.
- Feed in a time and the formula gives the exact position.
A equação do movimento
- Começando do máximo, a posição segue $x(t) = A\cos(\omega t)$.
- $A$ é a amplitude (o deslocamento máximo) e $\omega = 2\pi f$ é a frequência angular.
- Após um período $T$, a curva se repete exatamente.
- Insira um tempo e a fórmula dará a posição exata.
Position around a cycle · Posição em um ciclo
Step through the phase of the oscillation and see how position and energy vary across a cycle. · Passe pela fase da oscilação e veja como posição e energia variam ao longo de um ciclo.
An oscillator is $x(t) = 0.1\cos(4t)$ (metres). What is its position at $t = 0$, in metres? · Um oscilador tem amplitude $x(t) = 0.1\cos(4t)$ (metros). Qual é sua posição em $t = 0$, em metros?
$x(0) = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ — the maximum displacement (amplitude). · $x(0) = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ — o deslocamento máximo (amplitude).
In $x(t) = A\cos(\omega t)$, the symbol $A$ is the ____. · Em $x(t) = A\cos(\omega t)$, o símbolo $A$ é o ____.
$A$ is the amplitude — the maximum displacement from equilibrium. · $A$ é a amplitude — o deslocamento máximo em relação ao equilíbrio.
Where it's fastest and where it accelerates
- Speed is greatest at the middle (equilibrium) and zero at the ends (turning points).
- Acceleration is greatest at the ends and zero at the middle.
- This is because acceleration follows the force: $a = -\dfrac{k}{m}x$, biggest where $x$ is biggest.
- So velocity and acceleration are "out of step" — one peaks where the other is zero.
Onde está mais rápido e onde acelera
- A velocidade é máxima no meio (equilíbrio) e zero nas extremidades (pontos de inversão).
- A aceleração é máxima nas extremidades e zero no meio.
- Isso acontece porque a aceleração segue a força: $a = -\dfrac{k}{m}x$, sendo maior onde $x$ é maior.
- Então velocidade e aceleração estão "defasadas" — uma atinge o pico onde a outra é zero.
Where is an SHM oscillator moving fastest? · Onde um oscilador de MSO se move mais rápido?
Speed is greatest at the middle, where the acceleration (and force) is zero. · A velocidade é máxima no meio, onde a aceleração (e a força) é zero.
Where is the acceleration of an SHM oscillator greatest? · Onde a aceleração de um oscilador de MSO é maior?
$a = -\tfrac{k}{m}x$ is largest where $x$ is largest — at the extremes. · $a = -\tfrac{k}{m}x$ é maior onde $x$ é maior — nos extremos.
A mass starts at the far right. Order what happens next, first at the top. · Uma massa começa na extrema direita. Ordene o que acontece depois, começando pelo topo.
It accelerates toward the middle (max speed there), then decelerates to a stop at the other extreme. · Ela acelera em direção ao meio (velocidade máxima lá), depois desacelera até parar na outra extrema.
Position, velocity, acceleration
- If position is a cosine, velocity is a (negative) sine, and acceleration is a (negative) cosine.
- Each is shifted a quarter-cycle from the last.
- The acceleration is always opposite the displacement — that is the SHM condition again.
- Together the three graphs tell the whole story of the motion.
Posição, velocidade, aceleração
- Se a posição é um cosseno, a velocidade é um (negativo) seno, e a aceleração é um (negativo) cosseno.
- Cada uma está defasada em um quarto de ciclo da anterior.
- A aceleração é sempre oposta ao deslocamento — essa é a condição do SHM novamente.
- Juntas, os três gráficos contam toda a história do movimento.
In SHM the acceleration always points opposite to the displacement. · No MSO, a aceleração sempre aponta oposto ao deslocamento.
$a = -\tfrac{k}{m}x$: the minus sign means acceleration opposes displacement. · $a = -\tfrac{k}{m}x$: o sinal negativo indica que a aceleração se opõe ao deslocamento.
In SHM, velocity and acceleration do not peak at the same place. Velocity is largest at the centre (where acceleration is zero); acceleration is largest at the extremes (where velocity is zero). Mixing these up is a classic error.
No SHM, velocidade e aceleração não atingem o pico no mesmo lugar. A velocidade é maior no centro (onde a aceleração é zero); a aceleração é maior nas extremidades (onde a velocidade é zero). Misturar esses dois é um erro clássico.
An oscillator has amplitude $A = 0.1\ \text{m}$ and angular frequency $\omega = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, starting at the maximum.
- Position: $x(t) = 0.1\cos(4t)$.
- At $t = 0$: $x = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ (the maximum), where the speed is zero.
Um oscilador tem amplitude $A = 0.1\ \text{m}$ e frequência angular $\omega = 4\ \tfrac{\text{rad}}{\text{s}}$, começando no máximo.
- Posição: $x(t) = 0.1\cos(4t)$.
- Em $t = 0$: $x = 0.1\cos 0 = 0.1\ \text{m}$ (o máximo), onde a velocidade é zero.
SHM position follows $x(t) = A\cos(\omega t)$ — a sinusoid of amplitude $A$ and angular frequency $\omega = 2\pi f$. Speed peaks at the centre, acceleration peaks at the extremes, and acceleration always points opposite the displacement.
A posição do SHM segue $x(t) = A\cos(\omega t)$ — uma senóide de amplitude $A$ e frequência angular $\omega = 2\pi f$. A velocidade atinge o pico no centro, a aceleração atinge o pico nas extremidades, e a aceleração sempre aponta oposta ao deslocamento.