Vectors and Motion in Two Dimensions · Vetores e Movimento em Duas Dimensões
| English | Português |
|---|---|
| component/kəmˈpəʊnənt/ | componente |
| resultant/rɪˈzʌltənt/ | resultante |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | projétil |
A plane flies northeast — two motions in one
- One arrow points "northeast", but the plane is really moving east and north at once.
- Almost no real motion is purely left–right or up–down.
- The trick of two-dimensional kinematics: split each vector into perpendicular pieces.
- Handle the pieces separately, then put them back together.
Um avião voa para nordeste — dois movimentos em um
- Uma seta aponta "nordeste", mas o avião realmente se move leste e norte ao mesmo tempo.
- Quase nenhum movimento real é puramente esquerda-direita ou cima-baixo.
- O truque da cinemática bidimensional: divida cada vetor em peças perpendiculares.
- Trate as peças separadamente, depois junte-as novamente.
Resolving into components
- Any vector can be replaced by two perpendicular components 分量 — one along $x$, one along $y$.
- Together the two components have exactly the same effect as the original vector.
- Choose axes that make the problem easy (often horizontal and vertical).
- The components carry signs, so "left" and "down" are just negative values.
Resolvendo em componentes
- Qualquer vetor pode ser substituído por duas componentes 分量 perpendiculares — uma ao longo do eixo $x$, outra ao longo do eixo $y$.
- Juntas, as duas componentes têm exatamente o mesmo efeito que o vetor original.
- Escolha eixos que facilitem o problema (geralmente horizontal e vertical).
- As componentes carregam sinais, então "esquerda" e "para baixo" são apenas valores negativos.
The component formulas
- For a vector $\vec A$ of magnitude $A$ at angle $\theta$ above the $x$-axis:
- $A_x = A\cos\theta$ and $A_y = A\sin\theta$.
- These come straight from the right triangle the vector makes with its components.
- Going back: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ and $\theta = \tan^{-1}\!\big(\tfrac{A_y}{A_x}\big)$.
As fórmulas das componentes
- Para um vetor $\vec A$ de magnitude $A$ em um ângulo $\theta$ acima do eixo $x$:
- $A_x = A\cos\theta$ e $A_y = A\sin\theta$.
- Estas vêm diretamente do triângulo retângulo que o vetor forma com suas componentes.
- Voltando: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$ e $\theta = \tan^{-1}\!\big(\tfrac{A_y}{A_x}\big)$.
A velocity of $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ points $37^\circ$ above the horizontal. Its horizontal component is $10\cos 37^\circ$. With $\cos 37^\circ = 0.8$, what is $v_x$ in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Uma velocidade de $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ aponta $37^\circ$ acima da horizontal. Sua componente horizontal é $10\cos 37^\circ$. Com $\cos 37^\circ = 0.8$, qual é $v_x$ em $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v_x = A\cos\theta = 10 \times 0.8 = 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
For the same velocity, the vertical component is $10\sin 37^\circ$. With $\sin 37^\circ = 0.6$, what is $v_y$ in $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? · Para a mesma velocidade, o componente vertical é $10\sin 37^\circ$. Com $\sin 37^\circ = 0.6$, qual é $v_y$ em $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
$v_y = A\sin\theta = 10 \times 0.6 = 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
A vector has components $A_x = 3$ and · e $A_y = 4$. What is its magnitude? · Um vetor tem componentes $A_x = 3$ e $A_y = 4$. Qual é sua magnitude?
$A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Not $3+4=7$ — the components are perpendicular. · $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Não $3+4=7$ — as componentes são perpendiculares.
The horizontal component of a vector $A$ at angle $\theta$ is $A$ ____ $\theta$. · A componente horizontal de um vetor $A$ em ângulo $\theta$ é $A$ ____ $\theta$.
The adjacent side of the right triangle is $A\cos\theta$, so $A_x = A\cos\theta$. · O cateto adjacente do triângulo retângulo é $A\cos\theta$, então $A_x = A\cos\theta$.
Adding vectors by components
- To add vectors, add the $x$-components and separately add the $y$-components.
- Never add the magnitudes directly — that only works if they point the same way.
- The sums $(\Sigma A_x,\ \Sigma A_y)$ are the components of the resultant 合矢量.
- Recombine with $\sqrt{\;}$ and $\tan^{-1}$ to get its magnitude and direction.
Somando vetores por componentes
- Para somar vetores, some as componentes $x$ e separadamente some as componentes $y$.
- Nunca some as magnitudes diretamente — isso só funciona se apontarem na mesma direção.
- As somas $(\Sigma A_x,\ \Sigma A_y)$ são as componentes da resultante 合矢量.
- Recombine usando $\sqrt{\;}$ e $\tan^{-1}$ para obter sua magnitude e direção.
Add two vectors by components · Adicione dois vetores por componentes
Drag two vectors and watch the resultant — its components are the sums of the parts. · Arraste dois vetores e observe a resultante — suas componentes são as somas das partes.
Order the steps to add two vectors using components, first step at the top. · Organize os passos para adicionar dois vetores usando componentes, com o primeiro passo no topo.
Resolve, add component-wise, then recombine magnitude and direction. · Resolva, some componente por componente, depois recombine magnitude e direção.
Perpendicular motions are independent
- The $x$-motion and the $y$-motion evolve separately — neither affects the other.
- Gravity pulls only downward, so it changes $v_y$ but leaves $v_x$ alone.
- This independence is the whole secret of projectile 抛体 motion (Topic 2).
- Drop a ball and fire one horizontally at the same instant: they land together.
Movimentos perpendiculares são independentes
- O movimento $x$ e o movimento $y$ evoluem separadamente — nenhum afeta o outro.
- A gravidade puxa apenas para baixo, então muda $v_y$ mas deixa $v_x$ intocado.
- Essa independência é todo o segredo do movimento de projéteis 抛体 (Tópico 2).
- Deixe cair uma bola e dispare outra horizontalmente no mesmo instante: elas caem juntas.
The horizontal and vertical parts of a two-dimensional motion are independent of each other. · As partes horizontal e vertical de um movimento bidimensional são independentes uma da outra.
Perpendicular components evolve separately — gravity changes $v_y$ but not $v_x$. This is the basis of projectile motion. · Componentes perpendiculares evoluem separadamente — a gravidade altera $v_y$ mas não $v_x$. Esta é a base do movimento de projéteis.
You cannot add two vectors by adding their sizes unless they point along the same line. A $3$-unit vector plus a perpendicular $4$-unit vector gives $5$, not $7$ — resolve into components (or use the triangle) first.
Você não pode somar dois vetores adicionando seus tamanhos a menos que apontem na mesma linha. Um vetor unitário $3$ mais um vetor unitário $4$ perpendicular resulta em $5$, não $7$ — resolva em componentes (ou use o triângulo) primeiro.
Resolve a velocity of $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ aimed at $37^\circ$ above the horizontal (take $\cos 37^\circ \approx 0.8$, $\sin 37^\circ \approx 0.6$).
- $v_x = 10\cos 37^\circ \approx 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- $v_y = 10\sin 37^\circ \approx 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Check: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. ✓
Resolva uma velocidade de $10\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ direcionada a $37^\circ$ acima da horizontal (calcule $\cos 37^\circ \approx 0.8$, $\sin 37^\circ \approx 0.6$).
- $v_x = 10\cos 37^\circ \approx 8\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- $v_y = 10\sin 37^\circ \approx 6\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Verifique: $\sqrt{8^2 + 6^2} = 10$. ✓
Split a 2-D vector into perpendicular components: $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$. Add vectors by adding $x$- and $y$-components separately, then recombine with $A = \sqrt{A_x^2+A_y^2}$. Perpendicular motions are independent — the key to projectiles.
Divida um vetor 2-D em componentes perpendiculares: $A_x = A\cos\theta$, $A_y = A\sin\theta$. Some vetores adicionando componentes $x$ e $y$ separadamente, depois recombine com $A = \sqrt{A_x^2+A_y^2}$. Movimentos perpendiculares são independentes — a chave para projéteis.