The Arc Length of a Smooth, Planar Curve and Distance Traveled · Comprimento de Arco de uma Curva Lisa e Plana e Distância Percorrida
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| Arc length/ɑːk leŋθ/ | Comprimento de arco |
Measuring the length of a curve
- Area and volume were integrals; so is the length of a curve itself.
- Arc length 弧长 adds up the lengths of tiny straight pieces along the curve.
- On each little piece, the curve is nearly a straight line — a hypotenuse of a small right triangle.
- Sum those hypotenuses (integrate) to get the total length.
Medindo o comprimento de uma curva
- Área e volume eram integrais; o comprimento de uma curva também é.
- O comprimento de arco 弧长 soma os comprimentos de pequenos segmentos retos ao longo da curva.
- Em cada pequeno trecho, a curva é quase uma linha reta — a hipotenusa de um pequeno triângulo retângulo.
- Some essas hipotenusas (integre) para obter o comprimento total.
From a small triangle to the formula
- A tiny piece has horizontal run $dx$ and vertical rise $dy=f'(x)\,dx$.
- Its length is $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (Pythagoras).
- Add them from $a$ to $b$:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
De um pequeno triângulo à fórmula
- Um pequeno trecho tem avanço horizontal $dx$ e elevação vertical $dy=f'(x)\,dx$.
- Seu comprimento é $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (Pitágoras).
- Some-os de $a$ a $b$:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
A curve is longer than its chord · Uma curva é mais longa que sua corda
y = a·x^{1.5}
Arc length sums tiny hypotenuses $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ — always at least the horizontal distance $b-a$. · O comprimento de arco soma pequenos hipotenusas $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$ — sempre pelo menos a distância horizontal $b-a$.
The arc length of $y=f(x)$ on $[a,b]$ is... · O comprimento de arco de $y=f(x)$ em $[a,b]$ é...
Square the derivative, add 1, take the root. · Eleva ao quadrado a derivada, soma 1, extrai a raiz.
Using the formula
- Compute $f'(x)$, square it, add $1$, take the square root, and integrate over $[a,b]$.
- The integrand is always $\ge1$, so arc length is at least the horizontal distance $b-a$ (a curve is longer than the straight line).
- Many arc-length integrals are hard by hand; on the BC exam you often set them up and evaluate numerically.
- The key skill is building the integrand correctly from $f'$.
Usando a fórmula
- Calcule $f'(x)$, eleve ao quadrado, some com $1$, tire a raiz quadrada e integre sobre $[a,b]$.
- O integrando é sempre $\ge1$, então o comprimento do arco é pelo menos a distância horizontal $b-a$ (uma curva é mais longa que uma linha reta).
- Muitas integrais de comprimento de arco são difíceis de calcular manualmente; no exame BC você geralmente as monta e avalia numericamente.
- A habilidade principal é montar o integrando corretamente a partir de $f'$.
For · A favor $y=\tfrac23 x^{3/2}$, $f'(x)=x^{1/2}$. The arc-length integrand is... · Para $y=\tfrac23 x^{3/2}$, $f'(x)=x^{1/2}$. O integrando do comprimento de arco é...
$(f')^2=x$, so $\sqrt{1+x}$. · $(f')^2=x$, logo $\sqrt{1+x}$.
Evaluate · Avaliar $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (a decimal). · Avalie $\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$ (um decimal).
$\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\approx4.667$.
Because the integrand is $\ge 1$, the arc length is always at least... · Como o integrando é $\ge 1$, o comprimento de arco é sempre pelo menos...
A curve is at least as long as the straight run. · Uma curva é pelo menos tão longa quanto a linha reta.
Arc length as distance traveled
- If a particle moves along $y=f(x)$, the arc length is the distance it travels along the path.
- (For motion given by $x(t),y(t)$, the parametric version comes in lesson 9.3.)
- So this same integral measures both a curve's geometric length and a path's traveled distance.
- Setup is identical; only the interpretation changes.
Comprimento de arco como distância percorrida
- Se uma partícula se move ao longo de $y=f(x)$, o comprimento do arco é a distância que ela percorre ao longo do trajeto.
- (Para movimento dado por $x(t),y(t)$, a versão paramétrica aparece na lição 9.3.)
- Então essa mesma integral mede tanto o comprimento geométrico de uma curva quanto a distância percorrida por um trajeto.
- A montagem é idêntica; apenas a interpretação muda.
The arc-length integrand uses the derivative $f'(x)$, not $f(x)$. · O integrando do comprimento de arco usa a derivada $f'(x)$, não $f(x)$.
It is · É $\sqrt{1+(f'(x))^2}$. · É $\sqrt{1+(f'(x))^2}$.
Along a path $y=f(x)$, the arc length also measures the ____ traveled. · Ao longo de um caminho $y=f(x)$, o comprimento de arco também mede a ____ percorrida.
Arc length = distance traveled along the path. · Comprimento de arco = distância percorrida ao longo do caminho.
The integrand is $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — the derivative is squared, and there's a $\boldsymbol{+1}$ inside the root, not outside. Don't write $\sqrt{1+f(x)^2}$ (using $f$ instead of $f'$) or forget the $+1$. And the whole thing is under one square root before integrating.
O integrando é $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — a derivada está elevada ao quadrado, e há um $\boldsymbol{+1}$ dentro da raiz, não fora. Não escreva $\sqrt{1+f(x)^2}$ (usando $f$ em vez de $f'$) nem esqueça o $+1$. E tudo isso está sob uma única raiz quadrada antes de integrar.
Set up the arc length of $y=\tfrac23 x^{3/2}$ from $x=0$ to $x=3$.
- $f'(x)=x^{1/2}$, so $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
Monte o comprimento de arco de $y=\tfrac23 x^{3/2}$ de $x=0$ a $x=3$.
- $f'(x)=x^{1/2}$, logo $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
The arc length of $y=f(x)$ on $[a,b]$ is $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — summing tiny hypotenuses $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. Square the derivative, add $1$ inside the root, integrate. It also gives the distance traveled along the path.
O comprimento de arco de $y=f(x)$ em $[a,b]$ é $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — somando pequenas hipotenusas $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$. Eleve a derivada ao quadrado, adicione $1$ dentro da raiz, integre. Também fornece a distância percorrida ao longo do trajeto.