Defining and Differentiating Parametric Equations · Definindo e Diferenciando Equações Paramétricas
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| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | equações paramétricas |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | parâmetro |
A curve traced by a moving point
- Instead of $y=f(x)$, describe a curve by giving $x$ and $y$ each as a function of a third variable.
- These are parametric equations 参数方程: $x=f(t)$ and $y=g(t)$, with parameter 参数 $t$.
- Think of $t$ as time: as $t$ runs, the point $\big(x(t),y(t)\big)$ traces the curve.
- This lets you draw loops and vertical stretches that no single $y=f(x)$ can.
Uma curva traçada por um ponto móvel
- Em vez de $y=f(x)$, descreva uma curva dando $x$ e $y$ cada um como função de uma terceira variável.
- Estas são equações paramétricas 参数方程: $x=f(t)$ e $y=g(t)$, com parâmetro 参数 $t$.
- Pense em $t$ como tempo: à medida que $t$ varia, o ponto $\big(x(t),y(t)\big)$ traça a curva.
- Isso permite desenhar laços e alongamentos verticais que nenhuma única $y=f(x)$ consegue.
A curve a parameter traces · Uma curva traçada por um parâmetro
y = ax³ + bx
Parametric equations let a point sweep out curves — loops and vertical stretches no single $y=f(x)$ can draw. · Equações paramétricas permitem que um ponto esvazie curvas — laços e alongamentos verticais que uma única $y=f(x)$ não consegue desenhar.
In $x=f(t)$, $y=g(t)$, the variable $t$ is called the ____. · Em $x=f(t)$, $y=g(t)$, a variável $t$ é chamada de ____.
The parameter drives both coordinates. · O parâmetro controla ambas as coordenadas.
The parameter drives both coordinates
- At each $t$, plug into both equations to get a point $\big(x(t),y(t)\big)$.
- The curve is the path swept out as $t$ increases — with a direction of travel.
- Example: $x=\cos t,\ y=\sin t$ traces the unit circle counterclockwise.
- Eliminating $t$ (when possible) recovers a relation between $x$ and $y$.
O parâmetro direciona ambas as coordenadas
- Em cada $t$, substitua em ambas as equações para obter um ponto $\big(x(t),y(t)\big)$.
- A curva é o caminho varrido conforme $t$ aumenta — com uma direção de viagem.
- Exemplo: $x=\cos t,\ y=\sin t$ traça o círculo unitário no sentido anti-horário.
- Eliminar $t$ (quando possível) recupera uma relação entre $x$ e $y$.
Which parametric equations trace the unit circle? · Quais equações paramétricas traçam o círculo unitário?
$\cos^2 t+\sin^2 t=1$ traces the unit circle. · $\cos^2 t+\sin^2 t=1$ traça o círculo unitário.
The slope $\tfrac{dy}{dx}$ from derivatives in $t$
- To find the curve's slope, differentiate each coordinate in $t$ and divide:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- Both $\tfrac{dy}{dt}$ and $\tfrac{dx}{dt}$ come from the two equations; their ratio is the slope.
- (This is the chain rule: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, rearranged.)
A inclinação $\tfrac{dy}{dx}$ das derivadas em $t$
- Para encontrar a inclinação da curva, diferencie cada coordenada em $t$ e divida:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- Tanto $\tfrac{dy}{dt}$ quanto $\tfrac{dx}{dt}$ vêm das duas equações; sua razão é a inclinação.
- (Esta é a regra da cadeia: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, rearranjada.)
For a parametric curve, $\dfrac{dy}{dx}=$ · Para uma curva paramétrica, $\dfrac{dy}{dx}=$
Top over bottom: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$. · Topo sobre fundo: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$.
For · A favor $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. Find the slope at $t=2$. · Para $x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$. Encontre a inclinação em $t=2$.
$\frac{3(2)}{2}=3$.
Horizontal and vertical tangents
- Horizontal tangent: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (and $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — the slope is $0$.
- Vertical tangent: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (and $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — the slope is undefined.
- These come directly from the two component derivatives.
- So the same $\tfrac{dy}{dt}$, $\tfrac{dx}{dt}$ give both the slope and its special cases.
Tangentes horizontais e verticais
- Tangente horizontal: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (e $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — a inclinação é $0$.
- Tangente vertical: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (e $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — a inclinação é indefinida.
- Elas vêm diretamente das duas derivadas componentes.
- Então as mesmas $\tfrac{dy}{dt}$, $\tfrac{dx}{dt}$ fornecem tanto a inclinação quanto seus casos especiais.
A parametric curve has a horizontal tangent where... · Uma curva paramétrica tem tangente horizontal onde...
Horizontal ⇔ slope $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$. · Horizontal ⇔ inclinação $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$.
A vertical tangent occurs where $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (and $\tfrac{dy}{dt}\neq0$). · Uma tangente vertical ocorre onde $\dfrac{dx}{dt}=$ ____ (e $\tfrac{dy}{dt}\neq0$).
Zero $\tfrac{dx}{dt}$ → undefined slope → vertical. · Zero $\tfrac{dx}{dt}$ → inclinação indefinida → vertical.
The slope is $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — a ratio of the two derivatives, not $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ or $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. And it's top over bottom: $\tfrac{dy}{dt}$ divided by $\tfrac{dx}{dt}$. Swapping them inverts the slope.
A inclinação é $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — uma razão das duas derivadas, não $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ ou $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. E é topo sobre base: $\tfrac{dy}{dt}$ dividido por $\tfrac{dx}{dt}$. Invertê-las inverte a inclinação.
For $x=t^2,\ y=t^3$, find $\dfrac{dy}{dx}$ at $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- At $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
Para $x=t^2,\ y=t^3$, encontre $\dfrac{dy}{dx}$ em $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- Em $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
Parametric equations $x=f(t)$, $y=g(t)$ trace a curve as the parameter $t$ varies. The slope is $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (top over bottom). A horizontal tangent has $\frac{dy}{dt}=0$; a vertical tangent has $\frac{dx}{dt}=0$.
Equações paramétricas $x=f(t)$, $y=g(t)$ traçam uma curva à medida que o parâmetro $t$ varia. A inclinação é $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (topo sobre base). Uma tangente horizontal tem $\frac{dy}{dt}=0$; uma tangente vertical tem $\frac{dx}{dt}=0$.