Volume with Washer Method: Revolving Around Other Axes · Volume com Método das Arandelas: Girando em Torno de Outros Eixos
| English | Português |
|---|---|
| outer/ˈaʊtə/ | externo |
| inner/ˈɪnə/ | interna |
Washers around a shifted line
- The last piece: revolve a two-curve region around a line that isn't the $x$- or $y$-axis.
- Combine the two ideas you just learned: washers (a gap → a ring) and a shifted axis (adjust the radius).
- The formula stays $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$; only $R$ and $r$ get re-measured to the new line.
- Get both distances right and the calculus is routine.
Lavagens em torno de uma linha deslocada
- A última peça: gire uma região de duas curvas em torno de uma linha que não seja o eixo $x$ ou $y$.
- Combine as duas ideias que você acabou de aprender: lavagens (lacuna → anel) e eixo deslocado (ajuste o raio).
- A fórmula continua sendo $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$; apenas $R$ e $r$ são re-medicidos para a nova linha.
- Acerte ambas as distâncias e o cálculo será rotineiro.
Both radii measured to the new axis
- For a horizontal axis $y=k$: $R=|\text{far curve}-k|$ and $r=|\text{near curve}-k|$.
- Each radius is the distance from its curve to the shifted line, not to $y=0$.
- The outer 外 radius reaches the curve farther from the axis; the inner 内 radius the nearer one.
- Then $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ as usual.
Ambos os raios medidos até o novo eixo
- Para um eixo horizontal $y=k$: $R=|\text{far curve}-k|$ e $r=|\text{near curve}-k|$.
- Cada raio é a distância de sua curva até a linha deslocada, não até $y=0$.
- O raio externo 外 atinge a curva mais longe do eixo; o raio interno 内, a mais próxima.
- Depois use $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$ como de costume.
Two curves above a shifted axis · Duas curvas acima de um eixo deslocado
y = ax² + bx
Revolving about $y=-1$, both radii grow by $1$ — outer $\sqrt x+1$, inner $x+1$; still $R^2-r^2$. · Girando em torno de $y=-1$, ambos os raios crescem em $1$ — externo $\sqrt x+1$, interno $x+1$; ainda $R^2-r^2$.
Revolving the region between $y=\sqrt x$ and · e $y=x$ about $y=-1$, the outer and inner radii are... · Girando a região entre $y=\sqrt x$ e $y=x$ em torno de $y=-1$, os raios externos e internos são...
Shift both · ambos radii by $+1$ down to $y=-1$. · Desloque ambos os raios em $+1$ para baixo até $y=-1$.
For a shifted axis, you must re-measure ____ radii (outer and inner) to the new line. · Para um eixo deslocado, você deve re-medir ____ raios (externo e interno) até a nova linha.
Shift both, not just one. · Desloque ambos, não apenas um.
Watch which curve is now farther
- Shifting the axis can swap which curve is outer vs. inner — re-check after moving the line.
- Revolving about a line below the region: the lower curve is now the inner one (nearer the axis).
- Revolving about a line above the region: the roles flip.
- Always identify outer/inner relative to the actual axis of revolution.
Cuidado com qual curva agora está mais longe
- Deslocar o eixo pode inverter qual curva é externa vs. interna — verifique novamente após mover a linha.
- Revolvendo em torno de uma linha abaixo da região: a curva inferior agora é a interna (mais perto do eixo).
- Revolvendo em torno de uma linha acima da região: os papéis se invertem.
- Sempre identifique externo/interno em relação ao eixo de revolução real.
After shifting the axis, you should... · Após deslocar o eixo, você deve...
The axis position can swap outer/inner roles. · A posição do eixo pode inverter os papéis externo/interno.
Still: square each radius first
- As with any washer, subtract $R^2-r^2$ — square the (shifted) radii before subtracting.
- Never $(R-r)^2$, and never reuse the plain-axis radii.
- Draw the two distance segments from the axis to each curve to keep them straight.
- Then integrate along the appropriate variable.
Ainda: eleve cada raio ao quadrado primeiro
- Assim como em qualquer lavagem, subtraia $R^2-r^2$ — eleve os raios (deslocados) ao quadrado antes de subtrair.
- Nunca use $(R-r)^2$, e nunca reutilize os raios de eixo simples.
- Desenhe os dois segmentos de distância do eixo até cada curva para manter tudo claro.
- Depois integre em relação à variável adequada.
Even about a shifted axis, the washer integrand is $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$. · Mesmo sobre um eixo deslocado, o integrando da arruela é $R^2-r^2$, não $(R-r)^2$.
Always square each radius before subtracting. · Sempre eleve cada raio ao quadrado antes de subtrair.
The volume for $R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ on $[0,1]$ about $y=-1$ is... · O volume para $R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ em $[0,1]$ em torno de $y=-1$ é...
$\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{2}$.
The shifted-washer method combines which two ideas? · O método de arandela deslocada combina quais duas ideias?
Washer (gap → ring) plus a shifted radius. · Arandela (lacuna → anel) mais um raio deslocado.
Two combined pitfalls here: (1) shift both radii to the new axis (not just one), and (2) still use $R^2-r^2$, not $(R-r)^2$. After shifting, re-check which curve is outer — the axis's position can swap the roles. Sketch both radius segments to the actual line before squaring.
Dois armadilhas combinadas aqui: (1) desloque ambos os raios para o novo eixo (não apenas um), e (2) ainda use $R^2-r^2$, não $(R-r)^2$. Após deslocar, verifique novamente qual curva é externa — a posição do eixo pode inverter os papéis. Esboce ambos os segmentos de raio até a linha real antes de elevar ao quadrado.
Revolve the region between $y=\sqrt x$ (top) and $y=x$ (bottom) on $[0,1]$ about the line $y=-1$.
- Shift both radii down to $y=-1$: outer $R=\sqrt x+1$, inner $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
Gire a região entre $y=\sqrt x$ (topo) e $y=x$ (base) no intervalo $[0,1]$ em torno da linha $y=-1$.
- Desloque ambos os raios até $y=-1$: externo $R=\sqrt x+1$, interno $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
The washer method about a shifted axis: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$, but re-measure both the outer and inner radii to that line (e.g. add the shift for $y=k$ below the region). Re-check which curve is outer, and always square each radius before subtracting — never $(R-r)^2$.
O método das lavagens em torno de um eixo deslocado: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$, mas re-meça ambos os raios externos e internos até essa linha (ex. some o deslocamento para $y=k$ abaixo da região). Verifique novamente qual curva é externa, e sempre eleve cada raio ao quadrado antes de subtrair — nunca use $(R-r)^2$.