Verifying Solutions for Differential Equations · Verificando Soluções para Equações Diferenciais
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| solution/səˈluːʃn/ | solução |
Is this function actually a solution?
- Before solving a differential equation, you should be able to check a proposed answer.
- A solution 解 of a differential equation is a function that makes the equation true.
- The test is purely mechanical: differentiate the candidate and substitute.
- If both sides match for all $x$, it's a solution; if not, it isn't.
Essa função é realmente uma solução?
- Antes de resolver uma equação diferencial, você deve ser capaz de verificar uma resposta proposta.
- Uma solução 解 de uma equação diferencial é uma função que torna a equação verdadeira.
- O teste é puramente mecânico: diferencie o candidato e substitua.
- Se ambos os lados coincidirem para todos os $x$, é uma solução; se não, não é.
The verification recipe
- 1. Take the candidate function and compute its derivative(s).
- 2. Substitute the function and its derivatives into the differential equation.
- 3. Simplify both sides and check that they are equal (as identities in $x$).
- No integration needed — verifying is just differentiating and plugging in.
A receita de verificação
- 1. Pegue a função candidata e compute sua(s) derivada(s).
- 2. Substitua a função e suas derivadas na equação diferencial.
- 3. Simplifique ambos os lados e verifique se eles são iguais (como identidades em $x$).
- Nenhuma integração necessária — verificar é apenas diferenciar e inserir valores.
To verify a candidate solution, you... · Para verificar uma solução candidata, você...
Differentiate the candidate, substitute, check both sides match. · Diferencie a candidata, substitua, verifique se ambos os lados correspondem.
A worked check
- Does $y=e^{3x}$ solve $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
- Differentiate: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- Substitute into the right side: $3y=3e^{3x}$.
- Left $=$ right ($3e^{3x}=3e^{3x}$), so yes, $y=e^{3x}$ is a solution. ✓
Uma verificação resolvida
- $y=e^{3x}$ resolve $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
- Diferencie: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- Substitua no lado direito: $3y=3e^{3x}$.
- Lado esquerdo $=$ lado direito ($3e^{3x}=3e^{3x}$), então sim, $y=e^{3x}$ é uma solução. ✓
Solutions of dy/dx = ky · Soluções de dy/dx = ky
Each exponential $y=Ce^{kx}$ threads the slope field — verifying one just confirms its derivative matches $ky$. · Cada exponencial $y=Ce^{kx}$ atravessa o campo de inclinação — verificar uma apenas confirma que sua derivada corresponde a $ky$.
$y=e^{3x}$ is a solution of $\dfrac{dy}{dx}=3y$. · $y=e^{3x}$ é uma solução de $\dfrac{dy}{dx}=3y$.
$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
Both sides must be equal for ____ values of $x$, not just one, to confirm a solution. · Ambos os lados devem ser iguais para ____ valores de $x$, não apenas um, para confirmar uma solução.
A solution satisfies the equation identically. · Uma solução satisfaz a equação identicamente.
General vs. particular solutions
- $y=Ce^{3x}$ (with any constant $C$) also solves $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — the whole family is the general solution.
- Pick a specific $C$ and you get a particular solution.
- Verifying works the same for either: differentiate and check the equation holds.
- The constant carries through the differentiation, so the check still balances.
Soluções gerais vs. particulares
- $y=Ce^{3x}$ (com qualquer constante $C$) também resolve $\dfrac{dy}{dx}=3y$ — toda a família é a solução geral.
- Escolha uma $C$ específica e você obterá uma solução particular.
- Verificar funciona da mesma forma para ambas: diferencie e verifique se a equação se mantém.
- A constante passa através da diferenciação, então a verificação ainda equilibra.
Verifying a given solution requires integrating the differential equation. · Verificar uma solução dada requer integrar a equação diferencial.
Verifying is differentiate-and-substitute; no integration. · Verificação é diferenciar-e-substituir; sem integração.
For which constants $C$ does · faz $y=Ce^{3x}$ solve $\dfrac{dy}{dx}=3y$? · Para quais constantes $C$ $y=Ce^{3x}$ resolve $\dfrac{dy}{dx}=3y$?
$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ for all $C$ — the general solution. · $\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ para todos $C$ — a solução geral.
Is $y=x^2+C$ a solution of $\dfrac{dy}{dx}=2x$? · É $y=x^2+C$ uma solução de $\dfrac{dy}{dx}=2x$?
$\frac{dy}{dx}=2x$ regardless of $C$. · $\frac{dy}{dx}=2x$ independentemente de $C$.
Verifying is not solving — you're only checking a given candidate, so no integration is involved. Substitute the function and its derivative into the equation and confirm both sides are identical for all $x$, not just at one point. A match at a single $x$ isn't enough.
Verificar não é resolver — você só está verificando um candidato dado, então nenhuma integração está envolvida. Substitua a função e sua derivada na equação e confirme que ambos os lados são idênticos para todos os $x$, não apenas em um ponto. Uma correspondência em um único $x$ não é suficiente.
Verify that $y=x^2+C$ solves $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Differentiate: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (the $+C$ vanishes).
- The differential equation says $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Both sides equal $2x$, so $y=x^2+C$ is a solution for every constant $C$. ✓
Verifique que $y=x^2+C$ resolve $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Derive: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ (o $+C$ desaparece).
- A equação diferencial diz $\dfrac{dy}{dx}=2x$.
- Ambos os lados iguais a $2x$, então $y=x^2+C$ é uma solução para todo constante $C$. ✓
To verify a solution of a differential equation, differentiate the candidate and substitute it (with its derivatives) into the equation; it's a solution iff both sides are equal for all $x$. No integration required — verifying is differentiate-and-check. A family with a constant $C$ is the general solution.
Para verificar uma solução de uma equação diferencial, diferencie o candidato e substitua-o (com suas derivadas) na equação; é uma solução se e somente se ambos os lados forem iguais para todos os $x$. Nenhuma integração requerida — verificar é diferenciar-e-verificar. Uma família com uma constante $C$ é a solução geral.