Sketching Slope Fields · Esboçando Campos de Inclinação
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| slope field/sləʊp fiːld/ | campo de inclinações |
A map of slopes across the plane
- A differential equation $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ gives a slope at every point.
- Draw a short segment with that slope at each point of a grid, and you get a slope field 斜率场.
- It's a "map" showing which way solution curves must travel everywhere.
- You don't need to solve the equation to draw it — just evaluate the slope.
Um mapa de inclinações pelo plano
- Uma equação diferencial $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ dá uma inclinação em cada ponto.
- Desenhe um segmento curto com essa inclinação em cada ponto de uma grade, e você terá um campo de inclinações 斜率场.
- É um "mapa" mostrando por onde as curvas solução devem viajar em todos os lugares.
- Você não precisa resolver a equação para desenhá-la — basta avaliar a inclinação.
A slope field for dy/dx = ay · Um campo de inclinação para dy/dx = ay
Each dash has slope $\tfrac{dy}{dx}$ at its point — flat near $y=0$ and steeper far away for $\tfrac{dy}{dx}=ay$. · Cada traço tem inclinação $\tfrac{dy}{dx}$ em seu ponto — plano perto de $y=0$ e mais íngreme longe para $\tfrac{dy}{dx}=ay$.
A slope field shows, at each point, the... · Um campo de inclinação mostra, em cada ponto, o...
Each dash is the tangent direction there. · Cada traço é a direção tangente ali.
To draw a slope field you compute slopes only — you do ____ need to solve the equation. · Para desenhar um campo de inclinação você calcula apenas as inclinações — você não ____ precisa resolver a equação.
The equation gives the slope directly. · A equação dá a inclinação diretamente.
Compute the slope at each point
- At a grid point $(x,y)$, plug into $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ to get the number — that's the segment's slope.
- Slope $0$ → a horizontal dash; large positive → a steep upward dash; negative → downward.
- Repeat over a lattice of points to fill the field.
- The equation tells you the slope directly; no antiderivative needed.
Calcule a inclinação em cada ponto
- Em um ponto da grade $(x,y)$, insira em $\dfrac{dy}{dx}=F(x,y)$ para obter o número — essa é a inclinação do segmento.
- Inclinação $0$ → um traço horizontal; positivo grande → um traço íngreme para cima; negativo → para baixo.
- Repita sobre uma rede de pontos para preencher o campo.
- A equação fornece a inclinação diretamente; nenhuma antiderivada é necessária.
For · A favor $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, find the slope of the dash at the point $(2,3)$. · Para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, encontre a inclinação do traço no ponto $(2,3)$.
$2+3=5$.
For · A favor $\dfrac{dy}{dx}=xy$, the slope at $(3,2)$ is... · Para $\dfrac{dy}{dx}=xy$, a inclinação em $(3,2)$ é...
$xy=3\cdot2=6$ (use both coordinates). · $xy=3\cdot2=6$ (use ambas as coordenadas).
Spotting patterns quickly
- If $F$ depends only on $x$: the slope is the same all along a vertical line (columns look identical).
- If $F$ depends only on $y$: the slope is the same all along a horizontal line (rows look identical).
- For $\dfrac{dy}{dx}=y$: slopes grow with height — flat near $y=0$, steep far away.
- Recognizing these patterns speeds up sketching enormously.
Identificação rápida de padrões
- Se $F$ depende apenas de $x$: a inclinação é constante ao longo de uma linha vertical (colunas parecem idênticas).
- Se $F$ depende apenas de $y$: a inclinação é constante ao longo de uma linha horizontal (linhas parecem idênticas).
- Para $\dfrac{dy}{dx}=y$: as inclinações aumentam com a altura — planas perto de $y=0$, íngremes longe dele.
- Reconhecer esses padrões acelera imensamente o esboço.
If $\dfrac{dy}{dx}$ depends only on $x$, the dashes in each vertical column are parallel. · Se $\dfrac{dy}{dx}$ depende apenas de $x$, os traços em cada coluna vertical são paralelos.
Same $x$ → same slope down the column. · Mesmo $x$ → mesma inclinação descendo a coluna.
Equilibrium lines
- Where $F(x,y)=0$, the slope is $0$ — a row (or curve) of horizontal dashes.
- For $\dfrac{dy}{dx}=y$, that happens at $y=0$: a whole horizontal line of flat segments.
- These lines often mark equilibrium behavior — solutions can level off there.
- They're the easiest points to plot, so start with them.
Linhas de equilíbrio
- Onde $F(x,y)=0$, a inclinação é $0$ — uma linha (ou curva) de traços horizontais.
- Para $\dfrac{dy}{dx}=y$, isso ocorre em $y=0$: uma linha inteira de segmentos planos.
- Essas linhas frequentemente marcam comportamento de equilíbrio — soluções podem se nivelar ali.
- São os pontos mais fáceis de plotar, então comece por eles.
For · A favor $\dfrac{dy}{dx}=y$, the dashes are horizontal along the line... · Para $\dfrac{dy}{dx}=y$, os traços são horizontais ao longo da linha...
Slope · Inclinação $=y=0$ along $y=0$. · Inclinação $=y=0$ ao longo de $y=0$.
A slope field shows the differential equation's slopes, not the solution curves themselves. The little segments are tangent directions; a solution is a curve that stays tangent to them. And compute the slope with the point's $(x,y)$, using $y$ too when $F$ depends on it — not just $x$.
Um campo de inclinações mostra as inclinações da equação diferencial, não as curvas solução. Os pequenos segmentos são direções tangentes; uma solução é uma curva que permanece tangente a elas. E calcule a inclinação usando a $(x,y)$ do ponto, também usando $y$ quando $F$ depender dela — não apenas $x$.
Sketch a few slopes for $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- At $(1,0)$: slope $=1$. At $(2,5)$: slope $=2$. At $(-1,3)$: slope $=-1$.
- Since $F=x$ (no $y$), every point in a vertical column has the same slope.
- Columns of parallel dashes: flat at $x=0$, tilting more as $|x|$ grows.
Esboce algumas inclinações para $\dfrac{dy}{dx}=x$.
- Em $(1,0)$: inclinação $=1$. Em $(2,5)$: inclinação $=2$. Em $(-1,3)$: inclinação $=-1$.
- Como $F=x$ (sem $y$), todos os pontos em uma coluna vertical têm a mesma inclinação.
- Colunas de traços paralelos: planas em $x=0$, inclinadas mais à medida que $|x|$ cresce.
A slope field draws a short segment of slope $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ at each grid point — a map of tangent directions, no solving needed. Compute the slope at each $(x,y)$; look for patterns (columns match if $F$ depends only on $x$, rows if only on $y$) and horizontal dashes where $F=0$.
Um campo de inclinações desenha um pequeno segmento de inclinação $\frac{dy}{dx}=F(x,y)$ em cada ponto da grade — um mapa de direções tangentes, sem necessidade de resolver. Calcule a inclinação em cada $(x,y)$; procure padrões (colunas coincidem se $F$ depender apenas de $x$, linhas se depender apenas de $y$) e traços horizontais onde $F=0$.