Determining Intervals on Which a Function Is Increasing or Decreasing · Determinando Intervalos nos Quais uma Função Está Crescente ou Decrescente
| English | Português |
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| sign of the first derivative/saɪn ɒvðə fɜːst dɪˈrɪvətɪv/ | sinal da derivada primeira |
| sign chart/saɪn tʃɑːt/ | tabela de sinais |
The sign of $f'$ tells the story
- Where a curve rises or falls is written in the sign of the first derivative 一阶导数的符号.
- $f'(x)>0$ on an interval → $f$ is increasing there (going uphill).
- $f'(x)<0$ → $f$ is decreasing (going downhill).
- So to map out where $f$ climbs and drops, you just track the sign of $f'$.
O sinal de $f'$ conta a história
- Onde uma curva sobe ou desce é determinado pelo sinal da derivada primeira 一阶导数的符号.
- $f'(x)>0$ em um intervalo → $f$ está crescendo ali (subindo a colina).
- $f'(x)<0$ → $f$ está decrescendo (descendo a colina).
- Então, para mapear onde $f$ sobe e desce, basta acompanhar o sinal de $f'$.
Uphill where f′ > 0 · Para cima onde f′ > 0
y = ax³ + cx
The curve climbs where its slope is positive and falls where negative — the sign of $f'$ maps every stretch. · A curva sobe onde sua inclinação é positiva e desce onde é negativa — o sinal de $f'$ mapeia cada trecho.
A function is increasing on an interval exactly when... · Uma função é crescente em um intervalo exatamente quando...
Positive first derivative means increasing. · Derivada primeira positiva significa crescimento.
Build a sign chart
- Start by finding the critical points (where $f'=0$ or is undefined) — these split the number line.
- Draw a sign chart 符号表: mark the critical points, creating open intervals between them.
- Pick a test point in each interval and check the sign of $f'$ there.
- One sign per interval is enough — $f'$ can't change sign without passing through a critical point.
Construa um gráfico de sinais
- Comece encontrando os pontos críticos (onde $f'=0$ ou é indefinido) — estes dividem a linha numérica.
- Desenhe um gráfico de sinais 符号表: marque os pontos críticos, criando intervalos abertos entre eles.
- Escolha um ponto de teste em cada intervalo e verifique o sinal de $f'$ ali.
- Um sinal por intervalo é suficiente — $f'$ não pode mudar de sinal sem passar por um ponto crítico.
For · A favor $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, evaluate $f'(0)$ to test the middle interval. · Para $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, avalie $f'(0)$ para testar o intervalo do meio.
$3(-1)(1)=-3<0$, so $f$ is decreasing on $(-1,1)$. · $3(-1)(1)=-3<0$, então $f$ é decrescente em $(-1,1)$.
The critical points split the number line into intervals for a ____ chart of $f'$. · Os pontos críticos dividem a reta numérica em intervalos para um gráfico de ____ de $f'$.
A sign chart tracks where $f'$ is positive or negative. · Um gráfico de sinais acompanha onde $f'$ é positivo ou negativo.
Read off the intervals
- Each interval where $f'>0$ is an interval of increase; each where $f'<0$ is an interval of decrease.
- Write them in interval notation: e.g. increasing on $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.
- Use the function's domain as the outer boundaries.
- (Whether to include a critical point is a convention detail; the AP usually accepts open intervals.)
Leia os intervalos
- Cada intervalo onde $f'>0$ é positivo é um intervalo de aumento; cada um onde $f'<0$ é negativo é um intervalo de diminuição.
- Escreva-os em notação de intervalo: ex. crescendo em $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$.
- Use o domínio da função como limites externos.
- (Se incluir um ponto crítico é um detalhe de convenção; o AP geralmente aceita intervalos abertos.)
For · A favor $f(x)=x^3-3x$ (critical points $\pm1$), select all · todos intervals of increase. · Para $f(x)=x^3-3x$ (pontos críticos $\pm1$), selecione todos os intervalos de aumento.
$f'>0$ outside $[-1,1]$; decreasing in between. · $f'>0$ fora de $[-1,1]$; decrescente entre eles.
Why it works
- Between two consecutive critical points, $f'$ keeps one sign — no sign flip without a zero or a break.
- So one test value settles the whole interval.
- This sign information is the foundation of the First Derivative Test (next lesson).
- Increasing/decreasing behavior is exactly what a rate function encodes.
Por que funciona
- Entre dois pontos críticos consecutivos, $f'$ mantém um único sinal — nenhuma inversão de sinal sem zero ou quebra.
- Então um único valor de teste define todo o intervalo.
- Essa informação de sinal é a base do Teste da Primeira Derivada (próxima lição).
- O comportamento de crescimento/decrescimento é exatamente o que uma função de taxa codifica.
A function that is negative (below the $x$-axis) can still be increasing. · Uma função que é negativa (abaixo do eixo $x$) ainda pode estar crescendo.
Increasing depends on $f'>0$, not the sign of $f$. · Crescer depende de $f'>0$, não do sinal de $f$.
One test point settles a whole interval because $f'$ cannot change sign without... · Um único ponto de teste resolve um intervalo inteiro porque $f'$ não pode mudar de sinal sem...
A sign change requires a zero or an undefined point of $f'$. · Uma mudança de sinal requer um zero ou um ponto indefinido de $f'$.
Track the sign of $f'$, not the sign of $f$. A function can be negative yet increasing (e.g. rising from $-5$ toward $-1$). "Increasing" means the outputs are getting larger ($f'>0$), regardless of whether $f$ itself is above or below the $x$-axis.
Acompanhe o sinal de $f'$, não o sinal de $f$. Uma função pode ser negativa e ainda assim crescente (ex. subindo de $-5$ em direção a $-1$). "Crescer" significa que as saídas estão ficando maiores ($f'>0$), independentemente de $f$ estar acima ou abaixo do eixo $x$.
Where is $f(x)=x^3-3x$ increasing?
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$; critical points $x=-1,1$.
- Test $x=-2$: $f'>0$. Test $x=0$: $f'=-3<0$. Test $x=2$: $f'>0$.
- Increasing on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$; decreasing on $(-1,1)$.
Onde $f(x)=x^3-3x$ está crescendo?
- $f'(x)=3(x-1)(x+1)$; pontos críticos $x=-1,1$.
- Teste $x=-2$: $f'>0$. Teste $x=0$: $f'=-3<0$. Teste $x=2$: $f'>0$.
- Crescendo em $(-\infty,-1)$ e $(1,\infty)$; decrescendo em $(-1,1)$.
The sign of $f'$ determines monotonic behavior: $f'>0$ → increasing, $f'<0$ → decreasing. Split the number line at the critical points, build a sign chart with one test point per interval, and read off the intervals of increase and decrease. Track the sign of $f'$, not of $f$.
O sinal de $f'$ determina o comportamento monótono: $f'>0$ → crescente, $f'<0$ → decrescente. Divida a linha numérica nos pontos críticos, construa um gráfico de sinais com um ponto de teste por intervalo, e leia os intervalos de aumento e diminuição. Acompanhe o sinal de $f'$, não de $f$.