Approximating Areas with Riemann Sums · Aproximando Áreas com Somas de Riemann
| English | Português |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | soma de Riemann |
| left/left/ | para a esquerda |
| right/raɪt/ | correta |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | ponto médio |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | trapézio |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | regra do trapézio |
Estimate a curvy area with rectangles
- The area under a curve is rarely a neat rectangle — so approximate it with many thin rectangles.
- Slice the interval into strips, build a rectangle on each, and add up their areas.
- This sum of rectangle areas is a Riemann sum 黎曼和.
- More, thinner rectangles → a better estimate of the true area.
Estime uma área curva com retângulos
- A área sob uma curva raramente é um retângulo perfeito — então aproxime-a com muitos retângulos finos.
- Divida o intervalo em faixas, construa um retângulo em cada uma e some suas áreas.
- Essa soma das áreas dos retângulos é uma soma de Riemann 黎曼和.
- Mais retângulos, mais finos → melhor estimativa da área real.
The area we approximate · A área que nós aproximamos
y = x²
Rectangles or trapezoids fill the shaded area under the curve — more, thinner strips estimate it better. · Retângulos ou trapézios preenchem a área sombreada sob a curva — mais tiras finas estimam melhor.
Using more, thinner rectangles generally improves a Riemann-sum estimate. · Usar mais retângulos, mais finos, geralmente melhora uma estimativa de soma de Riemann.
Thinner strips hug the curve better. · Tiras mais finas seguem melhor a curva.
Left, right, and midpoint rectangles
- Each rectangle's height comes from the function — but where in the strip do you measure it?
- Left 左端 sum: height from the left edge of each strip.
- Right 右端 sum: height from the right edge.
- Midpoint 中点 sum: height from the middle — usually the most accurate of the three.
Retângulos esquerdo, direito e ponto médio
- A altura de cada retângulo vem da função — mas onde na faixa você a mede?
- Soma esquerda 左端: altura na borda esquerda de cada faixa.
- Soma direita 右端: altura na borda direita.
- Soma do ponto médio 中点: altura no meio — geralmente a mais precisa das três.
For · A favor $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ with $2$ right rectangles (width $1$): heights $f(1)=1$, $f(2)=4$. Find the right Riemann sum. · Para $f(x)=x^2$ em $[0,2]$ com $2$ retângulos direitos (largura $1$): alturas $f(1)=1$, $f(2)=4$. Encontre a soma de Riemann direita.
$1\cdot1+4\cdot1=5$.
Same setup, but a left · para a esquerda Riemann sum: heights $f(0)=0$, $f(1)=1$. Find it. · Mesma configuração, mas uma soma de Riemann esquerda: alturas $f(0)=0$, $f(1)=1$. Encontre-a.
$0\cdot1+1\cdot1=1$.
Which are standard ways to pick a rectangle's height in a Riemann sum? · Quais são as formas padrão de escolher a altura de um retângulo em uma soma de Riemann?
Left, right, and midpoint are the standard choices. · Esquerda, direita e ponto médio são as escolhas padrão.
Trapezoids fit even better
- Instead of a flat-topped rectangle, connect the two edge heights with a slanted top: a trapezoid 梯形.
- The trapezoidal rule 梯形法则 averages the left and right heights on each strip.
- It hugs a smooth curve more closely than rectangles, so it's usually more accurate.
- Area of each trapezoid $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
Trapézios se encaixam ainda melhor
- Em vez de um retângulo com topo plano, conecte as duas alturas das bordas com um topo inclinado: um trapézio 梯形.
- A regra do trapézio 梯形法则 média as alturas esquerda e direita em cada faixa.
- Ela segue uma curva suave mais de perto do que os retângulos, sendo geralmente mais precisa.
- Área de cada trapézio $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
The ____ rule uses slanted tops (average of edge heights) for a closer fit than rectangles. · A regra de ____ usa tops inclinados (média das alturas das bordas) para um ajuste mais próximo que retângulos.
Each trapezoid averages the left and right heights. · Cada trapézio média as alturas esquerda e direita.
Over- or underestimate?
- On an increasing function: left sums underestimate, right sums overestimate.
- On a decreasing function: it's the reverse — left over, right under.
- The trapezoidal rule's error depends on concavity (over on concave-up, under on concave-down).
- Knowing the direction of the error lets you bound the true area.
Superestima ou subestima?
- Em uma função crescente: somas esquerdas subestimam, somas direitas superestimam.
- Em uma função decrescente: ocorre o inverso — esquerda superestima, direita subestima.
- O erro da regra do trapézio depende da concavidade (superestima em côncava para cima, subestima em côncava para baixo).
- Conhecer a direção do erro permite delimitar a área real.
For an increasing function, a left Riemann sum gives an... · Para uma função crescente, uma soma de Riemann esquerda dá uma...
Left heights are the smaller edge on an increasing curve → underestimate. · Alturas esquerdas são a borda menor em uma curva crescente → subestima.
The three rectangle rules can give quite different answers for a small number of strips — they are approximations, not the exact area. And whether a left or right sum over- or under-estimates depends on whether the function is increasing or decreasing, not on the rule alone. Always check the function's behavior.
As três regras de retângulos podem dar respostas bem diferentes para um pequeno número de faixas — elas são aproximações, não a área exata. E se uma soma esquerda ou direita superestima ou subestima depende se a função é crescente ou decrescente, não apenas da regra em si. Sempre verifique o comportamento da função.
Estimate the area under $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ with $2$ right rectangles (width $1$).
- Right heights: $f(1)=1$ and $f(2)=4$.
- Right sum $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (The true area is $\tfrac83\approx2.67$; since $x^2$ is increasing, the right sum overestimates — as expected.)
Estime a área sob $f(x)=x^2$ em $[0,2]$ com $2$ retângulos direitos (largura $1$).
- Alturas direitas: $f(1)=1$ e $f(2)=4$.
- Soma direita $=1\cdot1+4\cdot1=5$.
- (A área real é $\tfrac83\approx2.67$; como $x^2$ está crescendo, a soma direita superestima — conforme esperado.)
A Riemann sum approximates area with rectangles: left, right, or midpoint heights. The trapezoidal rule uses slanted tops (averaging edge heights) for a closer fit. For an increasing function, left sums underestimate and right sums overestimate; more strips → a better approximation.
Uma soma de Riemann aproxima a área com retângulos: alturas esquerda, direita ou ponto médio. A regra do trapézio usa tops inclinados (média das alturas das bordas) para um ajuste mais próximo. Para uma função crescente, somas esquerdas subestimam e somas direitas superestimam; mais faixas → melhor aproximação.