Riemann Sums, Summation Notation, and Definite Integral Notation · Somas de Riemann, Notação de Somatória e Notação de Integral Definida
| English | Português |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | notação de somatório |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral definida |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | limites de integração |
Writing "add up all the rectangles" compactly
- A Riemann sum with many rectangles needs tidy notation — enter the summation notation 求和记号.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ means "add $f(x_i)\,\Delta x$ for $i=1$ to $n$."
- Each strip has width $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ and height $f(x_i)$ at a sample point.
- The $\Sigma$ just says "sum these rectangle areas."
Escrevendo "somar todos os retângulos" de forma compacta
- Uma soma de Riemann com muitos retângulos precisa de notação limpa — entre na notação de somatório 求和记号.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ significa "some $f(x_i)\,\Delta x$ de $i=1$ a $n$."
- Cada faixa tem largura $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ e altura $f(x_i)$ em um ponto amostral.
- O $\Sigma$ apenas diz "some essas áreas de retângulo."
For · A favor $n$ equal strips on $[a,b]$, the width $\Delta x$ is... · Para $n$ tiras iguais em $[a,b]$, a largura $\Delta x$ é...
The interval width divided by the number of strips. · A largura do intervalo dividida pelo número de tiras.
The symbol $\sum_{i=1}^{n}$ tells you to... · O símbolo $\sum_{i=1}^{n}$ diz a você para...
Sigma means sum over the index range. · Sigma significa soma sobre o intervalo do índice.
Let the rectangles get infinitely thin
- The estimate improves as $n$ grows and $\Delta x$ shrinks. Take the limit $n\to\infty$.
- In that limit the rectangle sum becomes the exact area — no approximation left.
- That limiting value is the definite integral 定积分.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
Deixe os retângulos ficarem infinitamente finos
- A estimativa melhora quando $n$ cresce e $\Delta x$ diminui. Tome o limite $n\to\infty$.
- Nesse limite, a soma dos retângulos torna-se a área exata — sem aproximação restante.
- Esse valor limite é a integral definida 定积分.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
The integral is the exact area · A integral é a área exata
y = x²
As the rectangles thin to nothing, their sum becomes the exact shaded area — the definite integral. · À medida que os retângulos ficam finos até nada, sua soma torna-se a área sombreada exata — a integral definida.
The definite integral $\int_a^b f\,dx$ is the limit of a Riemann sum as... · A integral definida $\int_a^b f\,dx$ é o limite de uma soma de Riemann quando...
Infinitely many infinitely-thin rectangles → exact area. · Infinitamente muitos retângulos infinitamente finos → área exata.
Reading the integral notation
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: the $\int$ is a stretched "S" for sum; $a$ and $b$ are the limits of integration 积分限.
- $f(x)$ is the integrand (what you're accumulating); $dx$ is the infinitely thin width.
- Read it "the integral of $f$ of $x$, from $a$ to $b$."
- It denotes the exact signed area between the curve and the $x$-axis over $[a,b]$.
Lendo a notação da integral
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: o $\int$ é um "S" alongado para soma; $a$ e $b$ são os limites de integração 积分限.
- $f(x)$ é o integrando (o que você está acumulando); $dx$ é a largura infinitesimal.
- Leia como "a integral de $f$ de $x$, de $a$ a $b$."
- Denota a área assinalada exata entre a curva e o eixo $x$ sobre $[a,b]$.
In $\int_a^b f(x)\,dx$, the function $f(x)$ being accumulated is called the ____. · Em $\int_a^b f(x)\,dx$, a função $f(x)$ sendo acumulada é chamada de ____.
$a,b$ are the limits; $f(x)$ is the integrand. · $a,b$ são os limites; $f(x)$ é o integrando.
It's still signed area
- Just like the Riemann sum, the definite integral is signed.
- Where $f>0$ the integral adds area; where $f<0$ it subtracts.
- So $\int_a^b f\,dx$ can be positive, negative, or zero.
- $\Delta x$ carries the direction: going from $a$ to $b$ with $a
Ainda é área assinalada
- Assim como a soma de Riemann, a integral definida é assinalada.
- Onde $f>0$ a integral adiciona área; onde $f<0$ ela subtrai.
- Então $\int_a^b f\,dx$ pode ser positivo, negativo ou zero.
- $\Delta x$ carrega a direção: ir de $a$ a $b$ com $a
A definite integral $\int_a^b f\,dx$ evaluates to a single number. · Uma integral definida $\int_a^b f\,dx$ avalia-se como um único número.
It is a signed-area number, not a function. · É um número de área com sinal, não uma função.
If $f(x)<0$ over all of $[a,b]$, then $\int_a^b f\,dx$ is... · Se $f(x)<0$ sobre todo $[a,b]$, então $\int_a^b f\,dx$ é...
Below-axis area is negative signed area. · Área abaixo do eixo é área com sinal negativa.
The definite integral is a number (a signed area), not a function — don't confuse it with the indefinite integral (a family of antiderivatives, lesson 6.8). And $\int_a^b f\,dx$ is signed area: a curve dipping below the axis makes a negative contribution, so the integral is not the same as "total geometric area."
A integral definida é um número (uma área assinalada), não uma função — não a confunda com a integral indefinida (uma família de primitivas, aula 6.8). E $\int_a^b f\,dx$ é área assinalada: uma curva descendo abaixo do eixo gera uma contribuição negativa, então a integral não é a mesma que "área geométrica total."
Express the area under $f(x)=x^2$ on $[0,2]$ as a definite integral.
- Width of each of $n$ strips: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- Riemann sum: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- Exact area: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (which equals $\tfrac83$).
Expresse a área sob $f(x)=x^2$ em $[0,2]$ como uma integral definida.
- Largura de cada uma das $n$ faixas: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- Soma de Riemann: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$.
- Área exata: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (que equivale a $\tfrac83$).
A Riemann sum in summation notation is $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ with $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Its limit as $n\to\infty$ is the definite integral $\int_a^b f(x)\,dx$ — the exact signed area, with $a,b$ the limits of integration and $f(x)$ the integrand.
Uma soma de Riemann em notação de somatório é $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ com $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. Seu limite quando $n\to\infty$ é a integral definida $\int_a^b f(x)\,dx$ — a área assinalada exata, com $a,b$ os limites de integração e $f(x)$ o integrando.