Exploring Accumulations of Change · Explorando Acumulações de Mudança
| English | Português |
|---|---|
| net change/net tʃeɪndʒ/ | variação líquida |
| accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ | acumulação |
| area/ˈeərɪə/ | área |
| signed area/saɪnd ˈeərɪə/ | área assinada |
Adding up change to get a total
- The derivative took things apart into rates. Integration puts them back together into totals.
- If you know the rate something changes, you can find the net change 净变化 it accumulates.
- Drive at a known speed for a while → total distance is speed accumulated over time.
- This "adding up a rate" is the second big idea of calculus: accumulation 累积.
Somando mudanças para obter um total
- A derivada desmontou coisas em taxas. Integração as reconstrói em totais.
- Se você conhece a taxa de mudança de algo, pode achar a variação líquida 净变化 acumulada.
- Dirija a uma velocidade conhecida por um tempo → distância total é velocidade acumulada no tempo.
- Este "somar uma taxa" é a segunda grande ideia do cálculo: acumulação 累积.
Integration (accumulation) is essentially the reverse of... · Integração (acumulação) é essencialmente o inverso de...
Accumulating a rate undoes differentiating a total. · Acumular uma taxa desfaz a diferenciação de um total.
The total change accumulated from a rate over an interval is called the ____ change. · A variação total acumulada de uma taxa sobre um intervalo é chamada de variação ____.
Net change = signed accumulation. · Variação líquida = acumulação com sinal.
Area under a rate graph = accumulated amount
- Plot a rate of change against time. The area 面积 under that graph is the total accumulated change.
- Constant rate $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ for $2$ h → area of a rectangle $=60\times2=120$ km.
- A changing rate makes a curvy region, but the idea is the same: area = accumulated quantity.
- Height is the rate; width is the interval; area is the total.
Área sob um gráfico de taxa = quantidade acumulada
- Plote uma taxa de variação contra o tempo. A área 面积 sob esse gráfico é a variação total acumulada.
- Taxa constante $60\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ para $2$ h → área de um retângulo $=60\times2=120$ km.
- Taxa variável cria uma região curva, mas a ideia é a mesma: área = quantidade acumulada.
- Altura é a taxa; largura é o intervalo; área é o total.
Area under a rate is a total · Área sob uma taxa é um total
y = 3 (constant rate) · y = 3 (taxa constante)
The shaded area under a rate curve is the accumulated amount — widen the interval and the total grows. · A área sombreada sob uma curva de taxa é a quantidade acumulada — alargar o intervalo e o total cresce.
A tap runs at $3$ L/min for $4$ min. The area under the rate graph (accumulated volume) is... · Uma torneira flui a $3$ L/min por $4$ min. A área sob o gráfico da taxa (volume acumulado) é...
Rectangle area $=3\times4=12$ L. · Área do retângulo $=3\times4=12$ L.
A rate rises linearly from $0$ to · até $6$ over $4$ min (a triangle). The accumulated amount (area) is... · Uma taxa sobe linearmente de $0$ a $6$ em $4$ min (um triângulo). A quantidade acumulada (área) é...
Triangle area $=\tfrac12\times4\times6=12$. · Área do triângulo $=\tfrac12\times4\times6=12$.
Signed area: rates can be negative
- When the rate is positive, the quantity grows (area counts as positive).
- When the rate is negative (below the axis), the quantity shrinks (area counts as negative).
- The net change is signed area 带符号面积: positive parts minus negative parts.
- So an object moving backward subtracts from the accumulated displacement.
Área assinada: taxas podem ser negativas
- Quando a taxa é positiva, a quantidade cresce (área conta positiva).
- Quando a taxa é negativa (abaixo do eixo), a quantidade diminui (área conta negativa).
- A variação líquida é área assinada 带符号面积: partes positivas menos partes negativas.
- Então um objeto movendo-se para trás subtrai do deslocamento acumulado.
Where a rate graph dips below the axis, that area subtracts from the net accumulated change. · Onde um gráfico de taxa desce abaixo do eixo, essa área subtrai da variação líquida acumulada.
Below-axis area is negative (signed area). · Área abaixo do eixo é negativa (área com sinal).
On a velocity-time graph, a portion below the axis means the object... · Em um gráfico velocidade-tempo, uma porção abaixo do eixo significa que o objeto...
Negative velocity = backward motion = negative signed area. · Velocidade negativa = movimento para trás = área com sinal negativa.
From rate back to amount
- If $f$ is a rate and you accumulate from $a$ to $b$, you get the net change of the original quantity.
- This is exactly the reverse of differentiating — undoing the rate to recover the total.
- The tool that computes this signed area precisely is the definite integral (coming up).
- For now: area under a rate graph = the amount that accumulated.
De volta da taxa para a quantidade
- Se $f$ é uma taxa e você acumula de $a$ para $b$, você obtém a mudança líquida da quantidade original.
- Isso é exatamente o inverso de diferenciar — desfazer a taxa para recuperar o total.
- A ferramenta que calcula essa área assinalada com precisão é a integral definida (em breve).
- Por enquanto: área sob um gráfico de taxa = a quantidade acumulada.
Accumulated change is signed area, not just "area." A velocity graph that dips below the axis means the object moved backward, which subtracts from the net displacement. Don't add all the area as positive — regions below the axis count as negative.
A variação acumulada é área assinalada, não apenas "área." Um gráfico de velocidade que desce abaixo do eixo significa que o objeto se moveu para trás, o que subtrai do deslocamento líquido. Não some toda a área como positiva — as regiões abaixo do eixo contam como negativas.
A tap fills a tank at a rate of $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ for $4$ minutes, then $0$ after.
- The rate graph is a rectangle: height $3$, width $4$.
- Accumulated volume = area $=3\times4=12$ L.
- If the rate later went negative (draining), that area would subtract from the total.
Uma torneira enche um tanque a uma taxa de $3\,\tfrac{\text{L}}{\text{min}}$ por $4$ minutos, depois de $0$.
- O gráfico de taxa é um retângulo: altura $3$, largura $4$.
- Volume acumulado = área $=3\times4=12$ L.
- Se a taxa fosse negativa mais tarde (drenagem), essa área subtrairia do total.
Accumulation turns a rate back into a total: the signed area under a rate-of-change graph over $[a,b]$ is the net change of the quantity. Positive rate → area adds; negative rate → area subtracts. The definite integral makes this precise.
Acumulação transforma uma taxa de volta em um total: a área assinalada sob um gráfico de taxa de variação sobre $[a,b]$ é a variação líquida da quantidade. Taxa positiva → área adiciona; taxa negativa → área subtrai. A integral definida torna isso preciso.