Introduction to Optimization Problems · Introdução a Problemas de Otimização
| English | Português |
|---|---|
| optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | otimização |
| variable/ˈveərɪəbl/ | variável |
| objective function/ɒbˈdʒektɪv ˈfʌŋkʃn/ | função objetivo |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | restrição |
Making something as big (or small) as possible
- Real problems ask: what dimensions give the largest area? the cheapest cost? the shortest time?
- These are optimization 最优化 problems — find the max or min of a quantity.
- Calculus solves them because extrema live where the derivative is zero.
- This lesson is about the setup; the solving comes next.
Tornar algo o maior (ou menor) possível
- Problemas reais perguntam: quais dimensões dão a área maior? o custo mais barato? o tempo mais curto?
- Estes são problemas de otimização 最优化 — encontrar o máximo ou mínimo de uma quantidade.
- Cálculo os resolve porque extremos vivem onde a derivada é zero.
- Esta aula é sobre a configuração; a resolução vem depois.
Name a variable and write the objective
- Choose a variable 变量 for the quantity you can control (a length, a radius, a price).
- Write the thing you want to maximize or minimize as a function of that variable — the objective function 目标函数.
- Example: for a rectangle of fixed perimeter, write the area in terms of one side length.
- Draw a picture and label it — most setup errors are unlabeled diagrams.
Nomeie uma variável e escreva o objetivo
- Escolha uma variável 变量 para a quantidade que você pode controlar (um comprimento, um raio, um preço).
- Escreva o que você quer maximizar ou minimizar como função dessa variável — a função objetivo 目标函数.
- Exemplo: para um retângulo de perímetro fixo, escreva a área em termos de um lado.
- Desenhe uma figura e rotule-a — a maioria dos erros de configuração são diagramas sem rótulos.
In "maximize area with a fixed perimeter," the area is the... · Em "maximizar área com perímetro fixo", a área é o...
You optimize the objective (area); the perimeter is the constraint. · Você otimiza o objetivo (área); o perímetro é a restrição.
Use a constraint to get one variable
- Usually the objective starts with two variables (like length and width).
- A constraint 约束条件 equation relates them (a fixed perimeter, a fixed volume, a budget).
- Solve the constraint for one variable and substitute, so the objective depends on a single variable.
- Now it's an ordinary "find the extremum" problem.
Use uma restrição para isolar uma variável
- Geralmente o objetivo começa com duas variáveis (como comprimento e largura).
- Uma restrição 约束条件 equação as relaciona (perímetro fixo, volume fixo, orçamento).
- Resolva a restrição para uma variável e substitua, para que o objetivo dependa de apenas uma variável.
- Agora é um problema comum de "encontrar o extremo".
Area as one downward parabola · Área como uma parábola voltada para baixo
y = ax² + bx
After using the constraint, area becomes $A=10x-x^2$ — a downward parabola with a single peak to find. · Depois de usar a restrição, a área torna-se $A=10x-x^2$ — uma parábola voltada para baixo com um único pico para encontrar.
A constraint equation is used to... · Uma equação de restrição é usada para...
Solve the constraint for one variable and substitute. · Resolva a restrição para uma variável e substitua.
The goal of the setup is to write the objective in terms of a ____ variable. · O objetivo do ajuste é escrever o objetivo em termos de uma variável ____.
One variable ⇒ an ordinary extremum problem. · Uma variável ⇒ um problema de extremo ordinário.
Order the optimization setup steps. · Ordene os passos do ajuste de otimização.
Variable, objective, constraint, substitute. · Variável, objetivo, restrição, substituir.
A worked setup
- "A farmer has $40$ m of fence for a rectangular pen against a wall (no fence on the wall side)."
- Constraint: fence used $=2x+y=40$, so $y=40-2x$.
- Objective: area $A=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$, now a function of $x$ alone.
- Ready to maximize $A(x)$ — that's lesson 5.11.
Configuração resolvida
- "Um fazendeiro tem $40$ m de cerca para um curral retangular contra uma parede (sem cerca no lado da parede)."
- Restrição: cerca usada $=2x+y=40$, então $y=40-2x$.
- Objetivo: área $A=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$, agora uma função apenas de $x$.
- Pronto para maximizar $A(x)$ — isso é a lição 5.11.
With $2x+y=40$ (wall on one side), the area $A=xy$ becomes... · Com $2x+y=40$ (parede de um lado), a área $A=xy$ torna-se...
$y=40-2x$, so $A=x(40-2x)=40x-2x^2$. · $y=40-2x$, logo $A=x(40-2x)=40x-2x^2$.
Noting the domain of the variable (e.g. $0
The domain bounds where a valid answer can be. · Os limites do domínio onde uma resposta válida pode estar.
Keep the objective (what you optimize) separate from the constraint (the fixed relationship). You maximize/minimize the objective, and you use the constraint only to eliminate a variable. Also note the domain of the variable (e.g. $x>0$ and $y>0$) — it bounds where a valid answer can lie.
Mantenha o objetivo (o que você otimiza) separado da restrição (a relação fixa). Você maximiza/minimiza o objetivo e usa a restrição apenas para eliminar uma variável. Observe também o domínio da variável (por exemplo, $x>0$ e $y>0$) — ele limita onde uma resposta válida pode estar.
Set up: maximize the area of a rectangle with perimeter $20$.
- Let the sides be $x$ and $y$. Constraint: $2x+2y=20\Rightarrow y=10-x$.
- Objective: $A=xy=x(10-x)=10x-x^2$.
- Domain: $0
Configuração: maximize a área de um retângulo com perímetro $20$.
- Deixe os lados serem $x$ e $y$. Restrição: $2x+2y=20\Rightarrow y=10-x$.
- Objetivo: $A=xy=x(10-x)=10x-x^2$.
- Domínio: $0
An optimization problem finds a maximum or minimum. Set it up by naming a variable, writing the objective function to optimize, and using a constraint equation to reduce it to a single variable. Note the domain. Then it becomes a standard extremum problem (next lesson).
Um problema de otimização encontra um máximo ou mínimo. Configure-o nomeando uma variável, escrevendo a função objetivo a otimizar, e usando uma equação de restrição para reduzi-la a apenas uma variável. Observe o domínio. Depois vira um problema padrão de extremo (próxima aula).