Introducing Calculus: Can Change Occur at an Instant? · Introduzindo Cálculo: A Mudança Pode Ocorrer num Instante?
| English | Português |
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| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taxa média de variação |
| slope/sləʊp/ | inclinação |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | reta secante |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | reta tangente |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taxa instantânea de variação |
| limit/ˈlɪmɪt/ | limite |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
How fast, right now?
- Your car's speedometer reads $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ at a single instant.
- But speed is distance ÷ time — and at an instant, no time passes and no distance is covered.
- So how can you have a speed at a single moment?
- Answering this question is where calculus begins.
Quão rápido, agora mesmo?
- O velocímetro do seu carro marca $60\ \tfrac{\text{km}}{\text{h}}$ em um instante único.
- Mas velocidade é distância ÷ tempo — e em um instante, nenhum tempo passa e nenhuma distância é percorrida.
- Então como você pode ter uma velocidade em um momento único?
- Responder a esta pergunta é onde começa o cálculo.
Average rate of change
- Over an interval, change is easy: it's the total change divided by the time taken.
- This is the average rate of change 平均变化率 of a function.
- On a graph it is the slope 斜率 of the straight line joining two points — a secant line 割线.
- Example: from $x=1$ to $x=3$, the average rate is $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
Taxa média de variação
- Em um intervalo, a variação é fácil: é a variação total dividida pelo tempo decorrido.
- Esta é a taxa média de variação 平均变化率 de uma função.
- Em um gráfico, é a inclinação 斜率 da reta reta que une dois pontos — uma reta secante 割线.
- Exemplo: de $x=1$ a $x=3$, a taxa média é $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}$.
The slope of a secant line between two points on a curve gives the... · A inclinação de uma reta secante entre dois pontos em uma curva fornece a...
A secant joins two points, so its slope is the average rate of change over that interval. · Uma secante une dois pontos, então sua inclinação é a taxa média de variação sobre aquele intervalo.
Squeeze the two points together
- Now slide the second point closer and closer to the first.
- The secant line pivots and gets closer to just touching the curve at one point.
- That touching line is the tangent line 切线.
Juntar os dois pontos
- Agora deslize o segundo ponto cada vez mais próximo do primeiro.
- A reta secante gira e se aproxima de apenas tocar a curva em um ponto.
- Essa linha de toque é a reta tangente 切线.
As the second point slides toward the first, the secant line approaches the... · Conforme o segundo ponto se move em direção ao primeiro, a reta secante aproxima-se da...
The secant pivots until it just touches the curve — it approaches the tangent line. · A secante gira até tocar apenas a curva — ela se aproxima da reta tangente.
The instantaneous rate of change
- The slope of the tangent line is the instantaneous rate of change 瞬时变化率 at that point.
- That is the speedometer reading — the rate at one exact instant.
- For a position-time graph, it is the instantaneous velocity.
A taxa de variação instantânea
- A inclinação da reta tangente é a taxa de variação instantânea 瞬时变化率 naquele ponto.
- Isso é a leitura do velocímetro — a taxa em um instante exato.
- Para um gráfico de posição-tempo, é a velocidade instantânea.
Average rate or instantaneous rate? · Taxa média ou taxa instantânea?
Decide whether each quantity is measured over an interval or at a single instant. · Decida se cada quantidade é medida sobre um intervalo ou em um único instante.
The slope of the tangent line is the ____ rate of change. · A inclinação da reta tangente é a ____ taxa de variação.
The · A tangent line touches at one point, so its slope is the instantaneous rate of change there. · A reta tangente toca em um ponto, então sua inclinação é a taxa instantânea de variação ali.
You cannot find the instantaneous rate by plugging in one point — that gives $\tfrac{0}{0}$, which is undefined. You have to watch what the average rate approaches as the interval shrinks.
Você não pode encontrar a taxa instantânea substituindo apenas um ponto — isso dá $\tfrac{0}{0}$, que é indefinido. Você deve observar para qual valor a taxa média tende à medida que o intervalo diminui.
You can find the instantaneous rate of change by plugging a single point into the average-rate formula. · Você pode encontrar a taxa instantânea de variação inserindo um único ponto na fórmula da taxa média.
That gives $\tfrac{0}{0}$, which is undefined. You must take the limit as the interval shrinks to zero. · Isso resulta em $\tfrac{0}{0}$, que é indefinido. Você deve calcular o limite conforme o intervalo diminui até zero.
This "approaches" is a limit
- We never actually divide by zero; we ask what value the slope approaches.
- That value is a limit 极限 — the central idea of calculus.
- The limit of the average rate of change, as the interval shrinks to zero, is called the derivative 导数.
- The whole first unit of the course is about making this idea precise.
Esse "tende" é um limite
- Nunca dividimos realmente por zero; perguntamos qual valor a inclinação tende a assumir.
- Esse valor é um limite 极限 — a ideia central do cálculo.
- O limite da taxa média de variação, à medida que o intervalo diminui para zero, é chamado de derivada 导数.
- Toda a primeira unidade do curso trata de tornar essa ideia precisa.
Select all · todos true statements about the derivative at a point. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre a derivada em um ponto.
The derivative is the limit of average rates as the interval shrinks — the tangent slope, i.e. the instantaneous rate. · A derivada é o limite das taxas médias conforme o intervalo diminui — a inclinação da tangente, isto é, a taxa instantânea.
A ball's height is $h(t) = 5t^2$ metres. Estimate its speed at $t=2$ s.
- Average rate from $t=2$ to $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- From $t=2$ to $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- The values close in on $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — that limit is the instantaneous speed.
A altura de uma bola é $h(t) = 5t^2$ metros. Estime sua velocidade em $t=2$ s.
- Taxa média de $t=2$ a $t=2.1$: $\dfrac{h(2.1)-h(2)}{0.1} = \dfrac{22.05-20}{0.1} = 20.5\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- De $t=2$ a $t=2.01$: $\dfrac{20.2005-20}{0.01} = 20.05\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Os valores convergem para $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — esse limite é a velocidade instantânea.
A ball's height is $h(t)=5t^2$ m. Estimate its instantaneous speed at $t=2$ s (in m/s). · A altura de uma bola é $h(t)=5t^2$ m. Estime sua velocidade instantânea em $t=2$ s (em m/s).
Shrinking the interval, the average rate closes in on $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — that limit is the instantaneous speed. · Reduzindo o intervalo, a taxa média aproxima-se de $20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — esse limite é a velocidade instantânea.
Average rate of change = slope of a secant line over an interval. Shrink the interval to zero and the secant approaches the tangent line, whose slope is the instantaneous rate of change. That limiting value is the derivative.
Taxa média de variação = inclinação de uma reta secante sobre um intervalo. Reduza o intervalo a zero e a secante aproxima-se da reta tangente, cuja inclinação é a taxa de variação instantânea. Esse valor limite é a derivada.