Gravitational field of a point mass · Campo gravitacional de uma massa pontual
| English | Português |
|---|---|
| orbit/ˈɔːbɪt/ | órbita |
| orbital speed/ˈɔːbɪtl spiːd/ | velocidade orbital |
| satellite/ˈsætəlaɪt/ | satélite |
| Kepler's third law/ˈkepləz θɜːd lɔː/ | Lei de Kepler |
| geostationary/ˌdʒiːəʊˈsteɪʃənəri/ | geossincronizado |
| equator/ɪˈkweɪtə/ | equador |
| free fall/friː fɔːl/ | queda livre |
Why the Moon doesn't fall
- The Moon is always falling toward Earth — but it also moves sideways fast.
- So it keeps missing: it is in orbit 轨道.
- Gravity provides exactly the centripetal force needed.
Por que a Lua não cai
- A Lua está sempre caindo em direção à Terra — mas também se move lateralmente rapidamente.
- Então ela continua perdendo o alvo: ela está em órbita 轨道.
- A gravidade fornece exatamente a força centrípeta necessária.
Field of a point mass
- At distance $r$ from a mass $M$: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ — falling off as $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Near Earth's surface $r \approx R$ is huge, so climbing a building barely changes $g$.
Field strength drops off as 1/r²: doubling the distance quarters the pull
Field-line spacing shows the field strength — closer lines mean a stronger field
Campo de uma massa pontual
- A uma distância $r$ de uma massa $M$: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ — decaindo conforme $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Perto da superfície da Terra $r \approx R$ é enorme, então subir um prédio mal altera $g$.
A intensidade do campo decai como 1/r²: dobrar a distância reduz a atração a um quarto
O espaçamento das linhas de campo mostra a intensidade do campo — linhas mais próximas significam um campo mais forte
Field of a point mass · Campo de uma massa pontual
g ∝ M/r²
Gravitational field strength obeys the inverse-square law — halve the distance and it quadruples. · A intensidade do campo gravitacional obedece à lei do inverso do quadrado — reduzir a distância pela metade multiplica a intensidade por quatro.
The gravitational field strength at distance $r$ from a point mass $M$ is: · A intensidade do campo gravitacional a uma distância $r$ de uma massa pontual $M$ é:
From $g = \dfrac{F}{m}$ with $F = \dfrac{GMm}{r^{2}}$, the test mass cancels: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$. · De $g = \dfrac{F}{m}$ com $F = \dfrac{GMm}{r^{2}}$, a massa de teste cancela: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$.
Climbing a tall building changes the value of g by a large amount. · Subir um prédio alto altera o valor de g significativamente.
Earth's radius is ~6400 km, so a few metres of height barely changes $r$ — $g$ is effectively constant. · O raio da Terra é ~6400 km, logo alguns metros de altitude mal alteram $r$ — $g$ é efetivamente constante.
Orbital speed 轨道速度
- Gravity = centripetal force: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- The mass $m$ cancels: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ — independent of the satellite 卫星's mass.
Velocidade orbital 轨道速度
- Gravidade = Força centrípeta: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$.
- A massa $m$ cancela: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ — independente da massa do satélite 卫星.
A satellite's orbital speed does not depend on its own mass. · A velocidade orbital de um satélite não depende de sua própria massa.
The mass $m$ cancels in $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$, leaving $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$. · A massa $m$ cancela em $\dfrac{GMm}{r^{2}} = \dfrac{mv^{2}}{r}$, restando $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$.
Kepler's third law 开普勒第三定律
- From $T = \dfrac{2\pi r}{v}$: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, so $T^{2} \propto r^{3}$.
- A graph of $T^{2}$ against $r^{3}$ is a straight line — its gradient gives the central mass.
Plotting T² against r³ gives a straight line through the origin — its gradient fixes the central mass M
Lei de Kepler 开普勒第三定律
- De $T = \dfrac{2\pi r}{v}$: $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, logo $T^{2} \propto r^{3}$.
- Um gráfico de $T^{2}$ em função de $r^{3}$ é uma linha reta — sua inclinação fornece a massa central.
Plotar T² contra r³ resulta em uma linha reta que passa pela origem — sua inclinação fixa a massa central M
Kepler's third law (for circular orbits) states: · A terceira lei de Kepler (para órbitas circulares) afirma:
$T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, so the square of the period is proportional to the cube of the radius. · $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}$, portanto o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio.
If an orbit radius increases by a factor of 4, the period increases by a factor of: · Se o raio de uma órbita aumenta por um fator de 4, o período aumenta por um fator de:
$T \propto r^{3/2}$, so $T$ scales by $4^{3/2} = 8$. · $T \propto r^{3/2}$, então $T$ escala por $4^{3/2} = 8$.
Worked example: a satellite above Mars
A satellite orbits Mars (mass $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, radius $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$) at a height of $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ above the surface. Find its speed and period.
- Orbit radius, from the centre: $r = 3.4 \times 10^{6} + 1.7 \times 10^{6} = 5.1 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Speed: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{5.1 \times 10^{6}}} = 2.9 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Period: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 5.1 \times 10^{6}}{2.9 \times 10^{3}} = 1.1 \times 10^{4}\ \text{s}$, about three hours.
- Check: the satellite's own mass never appeared — every satellite at this height moves at this speed. Using the height alone for $r$ gives a speed that is far too high.
Exemplo resolvido: um satélite acima de Marte
Um satélite orbita Marte (massa $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, raio $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$) a uma altura de $1.7 \times 10^{6}\ \text{m}$ acima da superfície. Encontre sua velocidade e período.
- Raio da órbita, do centro: $r = 3.4 \times 10^{6} + 1.7 \times 10^{6} = 5.1 \times 10^{6}\ \text{m}$.
- Velocidade: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{5.1 \times 10^{6}}} = 2.9 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- Período: $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi \times 5.1 \times 10^{6}}{2.9 \times 10^{3}} = 1.1 \times 10^{4}\ \text{s}$, cerca de três horas.
- Verificação: a massa própria do satélite nunca apareceu — todos os satélites a essa altura se movem a essa velocidade. Usar apenas a altura para $r$ resulta em uma velocidade muito alta.
A satellite orbits the Earth (mass $6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$) at a radius of $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ from the centre. What is its orbital speed, in km/s? · Um satélite orbita a Terra (massa $6.0 \times 10^{24}\ \text{kg}$) a um raio de $8.0 \times 10^{6}\ \text{m}$ do centro. Qual é sua velocidade orbital, em km/s?
$v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}} = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.0 \times 10^{24}}{8.0 \times 10^{6}}} = 7.1 \times 10^{3}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}} = 7.1\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$.
Geostationary 地球同步 orbit
- Period 24 hours, directly above the equator 赤道, orbiting west to east — the same direction as the Earth turns.
- It stays fixed above one point — perfect for a TV dish. From $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$ with $T = 86\,400\ \text{s}$, the radius is $\approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$, about $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ above the surface.
Órbita geoestacionária 地球同步 orbit
- Período 24 horas, diretamente acima do equador 赤道, orbitando de oeste para leste — na mesma direção em que a Terra gira.
- Permanece fixo acima de um ponto — perfeito para uma antena parabólica. De $r^{3} = \dfrac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}$ com $T = 86\,400\ \text{s}$, o raio é $\approx 4.2 \times 10^{7}\ \text{m}$, cerca de $3.6 \times 10^{7}\ \text{m}$ acima da superfície.
Select all · todos the features of a geostationary satellite. · Selecione todas as características de um satélite geoestacionário.
It matches Earth's rotation (24 h, west to east) above the equator, so it stays fixed above one point. A polar orbit does not. · Corresponde à rotação da Terra (24 h, oeste para leste) acima do equador, permanecendo fixo acima de um ponto. Uma órbita polar não faz isso.
Synchronous orbits elsewhere
- Any planet has its own synchronous orbit: the period equals the planet's rotation period, and the orbit lies above the equator, moving with the rotation.
- Mars turns once in about $25$ hours, so a satellite with a $25$-hour period above its equator stays over one Martian spot.
- Change the period and the radius follows from Kepler's law: a longer period means a larger orbit.
Órbitas síncronas em outros planetas
- Qualquer planeta tem sua própria órbita síncrona: o período iguala o período de rotação do planeta, e a órbita fica acima do equador, movendo-se junto com a rotação.
- Marte completa uma rotação em cerca de $25$ horas, então um satélite com período de $25$-horas acima de seu equador permanece sobre um único ponto marciano.
- Alterar o período faz com que o raio siga a lei de Kepler: um período maior significa uma órbita maior.
In every orbit formula $r$ is measured from the centre of the planet — add the planet's radius to a height. The satellite's mass cancels, so "a heavier satellite must go faster" is wrong. A geostationary orbit must be over the equator: any other orbit crosses the equator twice a day and drifts north and south as seen from the ground.
Em todas as fórmulas de órbita, $r$ é medido a partir do centro do planeta — some o raio do planeta à altitude. A massa do satélite cancela-se, portanto "um satélite mais pesado deve ir mais rápido" está errado. Uma órbita geoestacionária deve estar sobre o equador: qualquer outra órbita cruza o equador duas vezes por dia e deriva para norte e sul quando vista do solo.
A satellite is $600\ \text{km}$ above the surface of a planet of radius $6400\ \text{km}$. In the orbit equations, $r$ = ____ km. · Um satélite está $600\ \text{km}$ acima da superfície de um planeta de raio $6400\ \text{km}$. Nas equações orbitais, $r$ = ____ km.
$r$ is measured from the centre: $6400 + 600 = 7000\ \text{km}$. · $r$ é medido a partir do centro: $6400 + 600 = 7000\ \text{km}$.
Not weightless — falling
- At the Space Station's height of $400\ \text{km}$, $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — nearly the surface value.
- Astronauts float because they and the station are in free fall 自由落体 together, not because gravity has vanished.
Não sem peso — caindo
- Na altitude da Estação Espacial de $400\ \text{km}$, $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — quase o valor da superfície.
- Astronautas flutuam porque eles e a estação estão em queda livre 自由落体 juntos, não porque a gravidade desapareceu.
Earth's radius is $6370\ \text{km}$ and its surface field strength is $9.81\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. What is the field strength at a height of $400\ \text{km}$, in N/kg? · O raio da Terra é $6370\ \text{km}$ e sua intensidade de campo superficial é $9.81\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$. Qual é a intensidade do campo a uma altura de $400\ \text{km}$, em N/kg?
$g \propto \dfrac{1}{r^{2}}$, so $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — the astronauts are not weightless, they are falling. · $g \propto \dfrac{1}{r^{2}}$, então $g = 9.81 \times \left(\dfrac{6370}{6770}\right)^{2} = 8.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ — os astronautas não estão sem peso, eles estão caindo.
You've got it
- field of a point mass: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ (so $g$ is nearly constant near the surface)
- orbit: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ with $r$ from the centre (independent of satellite mass); $T^{2} \propto r^{3}$
- geostationary: 24 h, above the equator, west to east; a synchronous orbit matches any planet's rotation
Entendeu?
- campo de massa pontual: $g = \dfrac{GM}{r^{2}}$ (logo $g$ é quase constante perto da superfície)
- órbita: $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ com $r$ a partir do centro (independente da massa do satélite); $T^{2} \propto r^{3}$
- geoestacionária: 24 h, acima do equador, oeste para leste; uma órbita síncrona corresponde à rotação de qualquer planeta