Gravitational potential · Potencial gravitacional
| English | Português |
|---|---|
| escape velocity/eˈskeɪp vəˈlɒsɪti/ | velocidade de fuga |
| gravitational potential/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl/ | potencial gravitacional |
| infinity/ɪnˈfɪnɪti/ | infinito |
| gravitational potential energy/ˌɡrævɪˈteɪʃənl pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | energia potencial gravitacional |
| tightly bound/ˈtaɪtli baʊnd/ | fortemente ligado |
How fast to escape forever?
- Throw a ball up and it comes back. Throw it fast enough and it never returns.
- That "never returns" speed is the escape velocity 逃逸速度.
- To find it we need gravitational potential 引力势.
Quão rápido para escapar para sempre?
- Lançar uma bola para cima e ela volta. Lançá-la suficientemente rápido e ela nunca retorna.
- Essa velocidade de "nunca retorna" é a velocidade de escape 逃逸速度.
- Para encontrá-la precisamos de potencial gravitacional 引力势.
Gravitational potential
- $\phi$ is the work done per unit mass to bring a small test mass from infinity 无穷远 to a point: $\phi = \dfrac{W}{m}$. Unit: $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- Taken as zero at infinity, so $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ is negative everywhere else.
Potencial gravitacional
- $\phi$ é o trabalho realizado por unidade de massa para trazer uma pequena massa de prova de infinito 无穷远 até um ponto: $\phi = \dfrac{W}{m}$. Unidade: $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- Tomado como zero no infinito, então $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ é negativo em qualquer outro lugar.
Gravitational potential · Potencial gravitacional
V = −GM / r
Potential ∝ −1/r — deep near the mass, flattening with distance. · Potencial ∝ −1/r — profundo próximo à massa, aplanando-se com a distância.
Gravitational potential is: · O potencial gravitacional é:
Gravity does the work as a mass falls in, so $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ is negative, reaching zero only at infinity. · A gravidade realiza trabalho quando uma massa cai, então $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ é negativo, atingindo zero apenas no infinito.
Gravitational potential is taken to be zero at ____. · O potencial gravitacional é considerado zero em ____.
That choice makes the potential negative everywhere a mass actually is. · Essa escolha torna o potencial negativo em todos os lugares onde uma massa realmente existe.
Gravitational potential energy 重力势能
- A mass $m$ at potential $\phi$ has $E_{\text{P}} = m\phi = -\dfrac{GMm}{r}$.
- It is negative; closer masses are more negative — more tightly bound 紧密束缚.
Gravity provides the centripetal force that keeps a planet in a circular orbit
Energia potencial gravitacional 重力势能
- Uma massa $m$ em potencial $\phi$ possui $E_{\text{P}} = m\phi = -\dfrac{GMm}{r}$.
- É negativo; massas mais próximas são mais negativas — mais fortemente ligadas 紧密束缚.
A gravidade fornece a força centrípeta que mantém um planeta em órbita circular
Two masses closer together have a more negative (lower) gravitational potential energy. · Duas massas mais próximas têm uma energia potencial gravitacional mais negativa (menor).
$E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — smaller $r$ gives a more negative value, i.e. a more tightly bound pair. · $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — menor $r$ resulta em um valor mais negativo, ou seja, um par mais fortemente ligado.
Match each term to the definition the examiner marks. · Combine cada termo com a definição que o avaliador marca.
Two of these are per unit mass and one is per unit mass of WORK. That single word is what separates potential from field strength. · Duas dessas são por unidade de massa e uma é por unidade de massa de TRABALHO. Essa única palavra é o que separa o potencial da intensidade do campo.
Link with $mg\Delta h$
- For small height changes near the surface, $r$ barely changes, so $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$.
- For large changes (raising a satellite), use $-\dfrac{GMm}{r}$ at each radius and subtract.
Link com $mg\Delta h$
- Para mudanças pequenas de altura perto da superfície, $r$ muda pouco, logo $\Delta E_{\text{P}} \approx mg\Delta h$.
- Para mudanças grandes (elevar um satélite), use $-\dfrac{GMm}{r}$ em cada raio e subtraia.
The simple formula $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ is valid when: · A fórmula simples $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ é válida quando:
It assumes a uniform field. For big changes in $r$, use $-\dfrac{GMm}{r}$ at each radius instead. · Assume um campo uniforme. Para grandes variações em $r$, use $-\dfrac{GMm}{r}$ em cada raio.
Why is gravitational potential always negative? Select all · todos that apply. · Por que o potencial gravitacional é sempre negativo? Selecione todas as opções aplicáveis.
"Because gravity attracts" on its own is not the marked answer. The mark needs the work argument: zero at infinity, and the field doing the work on the way in. · "Porque a gravidade atrai" sozinho não é a resposta marcada. A pontuação exige o argumento do trabalho: zero no infinito, e o campo realizando o trabalho no caminho de entrada.
Worked example: the potential at the surface of Mars
Mars has mass $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$ and radius $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Find the gravitational potential at its surface, and the energy needed to remove $1\ \text{kg}$ from the surface to infinity.
- Potential: $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{3.4 \times 10^{6}} = -1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- The unit is asked for: joules per kilogram, because potential is energy per unit mass.
- Energy to escape per kilogram: from $\phi$ up to zero at infinity is $+1.3 \times 10^{7}\ \text{J}$ for each kilogram.
- Check: the minus sign is not optional. It says work must be done on the mass to remove it — the mass is in a "well" $1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ deep.
Exemplo resolvido: o potencial na superfície de Marte
Marte tem massa $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$ e raio $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Encontre o potencial gravitacional em sua superfície e a energia necessária para remover $1\ \text{kg}$ da superfície ao infinito.
- Potencial: $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.4 \times 10^{23}}{3.4 \times 10^{6}} = -1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$.
- A unidade é solicitada: joules por quilograma, pois potencial é energia por unidade de massa.
- Energia para escapar por quilograma: de $\phi$ até zero no infinito é $+1.3 \times 10^{7}\ \text{J}$ para cada quilograma.
- Verificação: o sinal negativo não é opcional. Ele diz que trabalho deve ser feito sobre a massa para removê-la — a massa está em um "poço" $1.3 \times 10^{7}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ fundo.
The Moon has mass $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$ and radius $1.74 \times 10^{6}\ \text{m}$. What is the gravitational potential at its surface, as a multiple of $10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$? (Include the sign.) · A Lua tem massa $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$ e raio $1.74 \times 10^{6}\ \text{m}$. Qual é o potencial gravitacional em sua superfície, como múltiplo de $10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$? (Inclua o sinal.)
$\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^{6}} = -2.8 \times 10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — about a twentieth of the Earth's, which is why leaving the Moon is easy. · $\phi = -\dfrac{GM}{R} = -\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{1.74 \times 10^{6}} = -2.8 \times 10^{6}\ \dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — cerca de uma vigésima parte da Terra, que é por que deixar a Lua é fácil.
Escape velocity
- To reach infinity, kinetic energy must match the depth of the well: $\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{GMm}{r}$.
- $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ at Earth's surface — independent of the object's mass.
Velocidade de escape
- Para alcançar o infinito, a energia cinética deve corresponder à profundidade do poço: $\tfrac{1}{2}mv_{\text{esc}}^{2} = \dfrac{GMm}{r}$.
- $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ na superfície da Terra — independente da massa do objeto.
Roughly, what is the escape velocity from the Earth's surface, in km/s? · Aproximadamente, qual é a velocidade de escape da superfície da Terra, em km/s?
$v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ for Earth. · $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}} \approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ para a Terra.
Escape velocity depends on the mass of the escaping object. · A velocidade de escape depende da massa do objeto que escapa.
The object mass cancels: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ depends only on the planet and the distance. · A massa do objeto cancela: $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ depende apenas do planeta e da distância.
A planet has GM/r = 6.3e7 J/kg at its surface. What is its escape speed, in km/s? · Um planeta possui GM/r = 6.3e7 J/kg em sua superfície. Qual é a sua velocidade de escape, em km/s?
v = sqrt(2GM/r) = sqrt(1.26e8) = 1.12e4 m/s = 11.2 km/s, the Earth's value. Note the factor of 2 and that the mass of the escaping object cancels out entirely. · v = sqrt(2GM/r) = sqrt(1.26e8) = 1.12e4 m/s = 11.2 km/s, o valor da Terra. Observe o fator de 2 e que a massa do objeto em escape se cancela completamente.
Worked example: lifting a satellite
A $500\ \text{kg}$ satellite is raised from the Earth's surface ($R = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$) to an orbit of radius $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Earth's mass is $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$. Find the gain in potential energy, and compare it with $mg\Delta h$.
- Two potentials, subtract: $\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right)$.
- Substitute: $6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 500 \times \left(\dfrac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}}\right) = 2.8 \times 10^{9}\ \text{J}$.
- The rough way: $mg\Delta h = 500 \times 9.81 \times 6.3 \times 10^{5} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{J}$ — about $10\%$ too big, because $g$ falls with height and $mg\Delta h$ assumes it does not.
- Check: the gain is positive — the satellite ends less negative, less tightly bound — even though both potentials are negative numbers.
Exemplo resolvido: elevando um satélite
Um satélite de $500\ \text{kg}$ é elevado da superfície da Terra ($R = 6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$) para uma órbita de raio $7.0 \times 10^{6}\ \text{m}$. A massa da Terra é $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$. Encontre o ganho em energia potencial e compare com $mg\Delta h$.
- Dois potenciais, subtraia: $\Delta E_{\text{P}} = GMm\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{r}\right)$.
- Substitua: $6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 500 \times \left(\dfrac{1}{6.37 \times 10^{6}} - \dfrac{1}{7.0 \times 10^{6}}\right) = 2.8 \times 10^{9}\ \text{J}$.
- O jeito aproximado: $mg\Delta h = 500 \times 9.81 \times 6.3 \times 10^{5} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{J}$ — cerca de $10\%$ grande demais, porque $g$ diminui com a altura e $mg\Delta h$ assume que isso não acontece.
- Verificação: o ganho é positivo — o satélite termina menos negativo, menos fortemente ligado — mesmo que ambos os potenciais sejam números negativos.
Potential is negative and increases towards zero as you move away. "Energy gained" is final minus initial with the signs kept: $-1.3 \times 10^{7} \to -0.9 \times 10^{7}$ is a gain of $0.4 \times 10^{7}$ per kilogram. $mg\Delta h$ is only for $\Delta h \ll R$. And the unit of $\phi$ is $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — writing joules loses the mark.
O potencial é negativo e aumenta em direção a zero conforme você se afasta. "Energia ganha" é final menos inicial mantendo os sinais: $-1.3 \times 10^{7} \to -0.9 \times 10^{7}$ é um ganho de $0.4 \times 10^{7}$ por quilograma. $mg\Delta h$ serve apenas para $\Delta h \ll R$. E a unidade de $\phi$ é $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ — escrever joules perde a nota.
Which statements about gravitational potential are correct? Select all that apply. · Quais afirmações sobre o potencial gravitacional estão corretas? Selecione todas as que se aplicam.
Potential is energy per unit mass, so its unit is joules per kilogram. It is negative, rises towards zero with distance, and its gradient gives the field: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$. · O potencial é energia por unidade de massa, então sua unidade é joules por quilograma. É negativo, sobe em direção a zero com a distância, e seu gradiente dá o campo: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
Field strength from the potential graph
- The field strength is the gradient of the potential–distance graph: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
- Where the $\phi$ graph is steep (close to the mass) the field is strong; far away the graph flattens and the field fades.
- The minus sign says the field points down the potential slope — towards the mass, where $\phi$ is most negative.
Força de campo a partir do gráfico de potencial
- A força de campo é a inclinação do gráfico de potencial-distância: $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$.
- Onde o gráfico de $\phi$ é íngreme (perto da massa) o campo é forte; longe, o gráfico alisa e o campo enfraquece.
- O sinal negativo indica que o campo aponta para baixo na encosta do potencial — em direção à massa, onde $\phi$ é mais negativo.
You've got it
- gravitational potential $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ in $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ (negative, zero at infinity); $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- gravitational PE $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — more negative = more tightly bound; large changes use $GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
- escape velocity $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (mass-independent, $\approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ for Earth)
Entendeu?
- potencial gravitacional $\phi = -\dfrac{GM}{r}$ em $\dfrac{\text{J}}{\text{kg}}$ (negativo, zero no infinito); $g = -\dfrac{\Delta\phi}{\Delta r}$
- PE gravitacional $E_{\text{P}} = -\dfrac{GMm}{r}$ — mais negativo = mais fortemente ligado; grandes mudanças usam $GMm\left(\dfrac{1}{r_1} - \dfrac{1}{r_2}\right)$
- velocidade de escape $v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (independente da massa, $\approx 11\ \dfrac{\text{km}}{\text{s}}$ para a Terra)