Integration (Pure 2) · Integração (Pure 2)
| English | Português |
|---|---|
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | integral |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | função exponencial |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | equação diferencial |
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | regra do trapézio |
| strip/strɪp/ | faixa |
| estimate/ˈestɪmət/ | estimação |
| identity/aɪˈdentɪti/ | identidade |
The area that eˣ can't escape
- The integral 积分 of $e^x$ is $e^x$ — the same function. This self-referential property makes exponential functions 指数函数 central to differential equations 微分方程.
- Integration techniques let you find areas, volumes, and solutions to real-world problems.
A área que eˣ não consegue escapar
- A integral 积分 de $e^x$ é $e^x$ — a mesma função. Essa propriedade autossuficiente torna as funções exponenciais 指数函数 centrais para equações diferenciais 微分方程.
- As técnicas de integração permitem encontrar áreas, volumes e soluções para problemas do mundo real.
Standard integrals
Worked example. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. The $\dfrac{1}{3}$ comes from the chain rule in reverse.
Don't forget the $\dfrac{1}{a}$. When integrating $e^{ax+b}$, you must divide by $a$. The integral of $e^{2x}$ is $\dfrac{1}{2}e^{2x}$, not $e^{2x}$.
The trapezium rule 梯形法则 adds straight-topped strips 条带 of width h to estimate 估计 the area
Integrais padrão
Exemplo resolvido. $\int e^{3x}\,dx = \dfrac{1}{3}e^{3x} + C$. O $\dfrac{1}{3}$ vem da regra da cadeia inversa.
Não esqueça o $\dfrac{1}{a}$. Ao integrar $e^{ax+b}$, você deve dividir por $a$. A integral de $e^{2x}$ é $\dfrac{1}{2}e^{2x}$, não $e^{2x}$.
A regra do trapézio 梯形法则 adiciona tiras 条带 com topo reto de largura h para estimar 估计 a área
The area under the curve · A área sob a curva
area = ∫ f(x) dx · área = ∫ f(x) dx
The integral still measures area · área — drag a and b to total the strip under the curve. · A integral ainda mede área — arraste a e b para somar a faixa sob a curva.
What is ∫ eˣ dx? · Qual é ∫ eˣ dx?
eˣ is its own integral (and derivative): ∫eˣ dx = eˣ + C. · eˣ é sua própria integral (e derivada): ∫eˣ dx = eˣ + C.
What is ∫ (1/x) dx? · Qual é ∫ (1/x) dx?
∫(1/x) dx = ln|x| + C (the power rule fails for n = −1). · ∫(1/x) dx = ln|x| + C (a regra da potência falha para n = −1).
∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C. What is a? · ∫ e^(2x) dx = (1/a)e^(2x) + C. Qual é a?
The chain rule in reverse: divide by the coefficient of x inside the exponential. · A regra da cadeia ao contrário: divida pelo coeficiente de x dentro do exponencial.
∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. Evaluate from 0 to π/6 (2 dp). · ∫ cos(3x) dx = (1/3)sin(3x) + C. Avalie de 0 a π/6 (2 casas decimais).
[(1/3)sin(3x)]₀^(π/6) = (1/3)sin(π/2) − 0 = 1/3 ≈ 0.33.
Integrating powers of trig functions
- To integrate a power of $\sin$/$\cos$, use an identity 恒等式 to remove the power first.
- Example: $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$, so $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$.
Integrando potências de funções trigonométricas
- Para integrar uma potência de $\sin$/$\cos$, use uma identidade 恒等式 para remover a potência primeiro.
- Exemplo: $\sin^2 x = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2x)$, então $\int \sin^2 x\,dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$.
The trapezium rule
- When you can't integrate exactly, estimate:
- Each strip of width $h$ is a trapezium; add their areas.
The trapezium rule: divide the area into strips, approximate each as a trapezium, and sum their areas.
A regra do trapézio
- Quando não for possível integrar exatamente, estime:
- Cada tira de largura $h$ é um trapézio; some suas áreas.
A regra do trapézio: divida a área em tiras, aproxime cada uma como um trapézio e some suas áreas.
The trapezium rule estimates a definite integral when it cannot be found exactly. · A regra do trapézio estima uma integral definida quando não pode ser encontrada exatamente.
It approximates the area as a sum of trapezium strips of width h. · Ela aproxima a área como uma soma de faixas trapezoidais de largura h.
Using the trapezium rule with h = 1, estimate ∫₁³ x² dx with y-values 1, 4, 9. · Usando a regra do trapézio com h = 1, estime ∫₁³ x² dx com valores de y 1, 4, 9.
(1/2)[1 + 9 + 2(4)] = (1/2)[10 + 8] = 9. (Exact: 26/3 ≈ 8.67.) · (1/2)[1 + 9 + 2(4)] = (1/2)[10 + 8] = 9. (Exato: 26/3 ≈ 8.67.)
Worked example — trapezium rule
- Estimate $\int_1^4 x^2\,dx$ using 3 strips ($h = 1$).
- $y$-values: $y_0 = 1$, $y_1 = 4$, $y_2 = 9$, $y_3 = 16$.
- $\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
- Exact value: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. The estimate is close.
- Integration is reverse differentiation; harder integrals use integration by substitution.
Exemplo resolvido — regra do trapézio
- Estime $\int_1^4 x^2\,dx$ usando 3 tiras ($h = 1$).
- Valores de $y$: $y_0 = 1$, $y_1 = 4$, $y_2 = 9$, $y_3 = 16$.
- $\int \approx \dfrac{1}{2}[1 + 16 + 2(4 + 9)] = \dfrac{1}{2}[17 + 26] = 21.5$.
- Valor exato: $\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^4 = \dfrac{64}{3} - \dfrac{1}{3} = 21$. A estimativa é próxima.
- A integração é a diferenciação reversa; integrais mais difíceis usam integração por substituição.
You've got it
- $\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
- remove powers of $\sin$/$\cos$ with an identity before integrating
- the trapezium rule estimates an integral as a sum of trapezium strips
Entendeu?
- $\int e^{ax+b}dx = \tfrac1a e^{ax+b} + C$; $\int \tfrac{1}{ax+b}dx = \tfrac1a\ln|ax+b| + C$
- remova potências de $\sin$/$\cos$ com uma identidade antes de integrar
- a regra do trapézio estima uma integral como uma soma de tiras trapezoidais