Differentiation (Pure 2) · Diferenciação (Pure 2)
| English | Português |
|---|---|
| standard derivatives/ˈstændəd dɪˈrɪvətɪvz/ | derivadas padrão |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | regra do quociente |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | regra do produto |
| parametric/ˌpærəˈmetrɪk/ | paramétrica |
| implicit/ɪmˈplɪsɪt/ | implícita |
The derivative that never changes
- The function $e^x$ is unique: its derivative is itself. No other function has this property.
- This makes $e^x$ the foundation of growth models, radioactive decay, and compound interest.
A derivada que nunca muda
- A função $e^x$ é única: sua derivada é ela mesma. Nenhuma outra função tem essa propriedade.
- Isso faz de $e^x$ a base de modelos de crescimento, decaimento radioativo e juros compostos.
Standard derivatives 标准导数
Worked example. $y = e^{3x}$. By the chain rule: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.
Derivadas padrão 标准导数
Exemplo resolvido. $y = e^{3x}$. Pela regra da cadeia: $\dfrac{dy}{dx} = 3e^{3x}$.
The gradient at a point · A inclinação num ponto
gradient = dy/dx · gradiente = dy/dx
Slide the point — the tangent · tangente slope is the derivative, even for these new standard functions. · Deslize o ponto — a inclinação da tangente é a derivada, mesmo para estas novas funções padrão.
The derivative of ln x is 1/x. What is its value at x = 4? · A derivada de ln x é 1/x. Qual é o seu valor em x = 4?
d/dx(ln x) = 1/x = 1/4 = 0.25.
The derivative of eˣ is eˣ. What is its value at x = 0? · A derivada de eˣ é eˣ. Qual é o seu valor em x = 0?
d/dx(eˣ) = eˣ, and e⁰ = 1. · d/dx(eˣ) = eˣ, e e⁰ = 1.
If y = e^(3x), then dy/dx = 3e^(3x). What is dy/dx at x = 0? · Se y = e^(3x), então dy/dx = 3e^(3x). Qual é dy/dx em x = 0?
At x = 0: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3. · Em x = 0: dy/dx = 3e⁰ = 3 × 1 = 3.
Product and quotient rules 商法则
- Product rule 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
- Quotient rule: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
The product rule: when both $u$ and $v$ change, the total rate of change has two terms — one for each function changing while the other stays fixed.
Don't forget the product rule. The derivative of $uv$ is NOT $u'v'$. You must use $(uv)' = u'v + uv'$. This is one of the most common mistakes in differentiation.
Regras do produto e do quociente 商法则
- Regra do produto 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$.
- Regra do quociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
A regra do produto: quando ambas $u$ e $v$ mudam, a taxa de mudança total tem dois termos — um para cada função mudando enquanto a outra permanece fixa.
Não esqueça a regra do produto. A derivada de $uv$ NÃO É $u'v'$. Você deve usar $(uv)' = u'v + uv'$. Este é um dos erros mais comuns em diferenciação.
The product rule says (uv)′ equals: · A regra do produto diz que (uv)′ é igual a:
The product rule: (uv)′ = u′v + uv′. · A regra do produto: (uv)′ = u′v + uv′.
The quotient rule for (u/v)′ is (u′v + uv′)/v². · A regra do quociente para (u/v)′ é (u′v + uv′)/v².
The quotient rule is (u′v − uv′)/v² (minus, not plus in the numerator). · A regra do quociente é (u′v − uv′)/v² (subtração, não soma no numerador).
Parametric 参数的 and implicit 隐式的 differentiation
- Parametric: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.
- Implicit: differentiate every term in $x$, chain-rule the $y$ terms, then solve for $\dfrac{dy}{dx}$.
Diferenciação paramétrica 参数的 e implícita 隐式的
- Paramétrica: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$.
- Implícita: diferencie cada termo em $x$, aplique a regra da cadeia nos termos $y$, depois resolva para $\dfrac{dy}{dx}$.
If x = t² and y = t³, then dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. At t = 4, dy/dx = ? · Se x = t² e y = t³, então dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = 3t²/2t = 3t/2. Em t = 4, dy/dx = ?
At t = 4: dy/dx = 3(4)/2 = 6. · Em t = 4: dy/dx = 3(4)/2 = 6.
Worked example — product rule
- $y = x^2 \sin x$. Let $u = x^2$, $v = \sin x$.
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
Exemplo resolvido — regra do produto
- $y = x^2 \sin x$. Seja $u = x^2$, $v = \sin x$.
- $u' = 2x$, $v' = \cos x$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 2x\sin x + x^2\cos x$.
You've got it
- learn: $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$, $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- product rule $(uv)' = u'v + uv'$; quotient rule $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- parametric: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; implicit: chain-rule the $y$ terms
Entendeu?
- aprenda: $\dfrac{d}{dx}e^x = e^x$, $\dfrac{d}{dx}\ln x = \dfrac{1}{x}$, $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$, $\dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x$
- regra do produto $(uv)' = u'v + uv'$; regra do quociente $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
- paramétrico: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$; implícito: derive usando a regra da cadeia os termos $y$