Trigonometry (Pure 2) · Trigonometria (Pure 2)
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| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | Fórmula R |
| reciprocal functions/rɪˈsɪprəkl ˈfʌŋkʃnz/ | funções recíprocas |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | ângulo duplo |
The hidden patterns in waves
- Radio signals, sound waves, and alternating current all combine sine and cosine terms.
- The R-formula 辅助角公式 lets you merge $a\sin\theta + b\cos\theta$ into a single sine wave — essential for finding maximum amplitude.
Os padrões ocultos nas ondas
- Sinais de rádio, ondas sonoras e corrente alternada combinam termos seno e cosseno.
- A fórmula R 辅助角公式 permite combinar $a\sin\theta + b\cos\theta$ em uma única onda senoidal — essencial para encontrar a amplitude máxima.
Reciprocal functions 倒数函数
- Three reciprocal functions: $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
- These appear in calculus and when solving trig equations.
The graph of sec θ = 1/cos θ has asymptotes wherever cos θ = 0
The reciprocal functions: $\sec$, $\csc$, and $\cot$ are simply $\dfrac{1}{\cos}$, $\dfrac{1}{\sin}$, and $\dfrac{1}{\tan}$.
Worked example. If $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$, then $\sec\theta = \dfrac{5}{3}$.
Funções recíprocas 倒数函数
- Três funções recíprocas: $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$, $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
- Elas aparecem em cálculo e ao resolver equações trigonométricas.
O gráfico de sec θ = 1/cos θ tem assíntotas sempre que cos θ = 0
As funções recíprocas: $\sec$, $\csc$, e $\cot$ são simplesmente $\dfrac{1}{\cos}$, $\dfrac{1}{\sin}$, e $\dfrac{1}{\tan}$.
Exemplo resolvido. Se $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$, então $\sec\theta = \dfrac{5}{3}$.
The unit circle · Círculo unitário
(cos θ, sin θ)
Every trig identity comes from this circle — watch how sin θ and cos θ relate as θ turns. · Toda identidade trigonométrica vem deste círculo — veja como sin θ e cos θ se relacionam à medida que θ gira.
The secant function sec θ is equal to: · A função secante sec θ é igual a:
sec θ = 1/cos θ; csc θ = 1/sin θ; cot θ = 1/tan θ.
Pythagorean identities for reciprocals
- Identities to know:
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$,
- $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
Don't confuse these. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (not $\sec^2\theta = 1 - \tan^2\theta$). The sign is plus, derived from dividing $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ by $\cos^2\theta$.
Identidades pitagóricas para recíprocas
- Identidades para memorizar:
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$,
- $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
Não confunda estas. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (não $\sec^2\theta = 1 - \tan^2\theta$). O sinal é mais, derivado de dividir $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ por $\cos^2\theta$.
The identity sec²θ ≡ 1 + tan²θ. If tan θ = 2, what is sec²θ? · A identidade sec²θ ≡ 1 + tan²θ. Se tan θ = 2, qual é sec²θ?
sec²θ = 1 + tan²θ = 1 + 2² = 1 + 4 = 5.
sec²θ ≡ 1 − tan²θ.
The correct identity is sec²θ ≡ 1 + tan²θ (plus, not minus). · A identidade correta é sec²θ ≡ 1 + tan²θ (soma, não subtração).
Double angle 二倍角 formulae
- Double angle: $\sin 2A = 2\sin A\cos A$, $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$.
- These are essential for integrating powers of sin and cos.
Fórmulas de ângulo duplo 二倍角 formulae
- Ângulo duplo: $\sin 2A = 2\sin A\cos A$, $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$.
- São essenciais para integrar potências de seno e cosseno.
Using the double angle formula, sin 60° = 2 sin 30° cos 30°. Evaluate (2 dp). · Usando a fórmula do ângulo duplo, sin 60° = 2 sin 30° cos 30°. Calcule (2 casas decimais).
2 × 0.5 × (√3/2) = √3/2 ≈ 0.87.
The R-formula
- The R-formula: $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, with $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ and $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.
- This converts a sum of sin and cos into a single wave — making it easy to find the maximum value ($R$) and where it occurs.
- Use the reciprocal functions secant, cosecant and cotangent.
A fórmula R
- A fórmula R: $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, com $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ e $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.
- Isso converte uma soma de seno e cosseno em uma única onda — facilitando encontrar o valor máximo ($R$) e onde ele ocorre.
- Use as funções recíprocas secante, cossecante e cotangente.
For 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α), what is R? · Para 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α), qual é R?
R = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = √25 = 5.
The maximum value of 5 sin θ + 12 cos θ is: · O valor máximo de 5 sin θ + 12 cos θ é:
R = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Maximum value = R. · R = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = 169 = 13. Valor máximo = R.
You've got it
- reciprocals: sec $=1/\cos$, csc $=1/\sin$, cot $=1/\tan$
- identities: $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$
- R-formula: $R = \sqrt{a^2 + b^2}$; double angle: $\sin 2A = 2\sin A\cos A$
Entendeu?
- recíprocos: sec $=1/\cos$, csc $=1/\sin$, cot $=1/\tan$
- identidades: $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$
- fórmula R: $R = \sqrt{a^2 + b^2}$; ângulo duplo: $\sin 2A = 2\sin A\cos A$