Logarithmic and exponential functions · Funções logarítmicas e exponenciais
| English | Português |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritmo |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | leis dos logaritmos |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritmo natural |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | forma linear |
The number that grows forever
- A bank account doubles every 10 years. After 100 years, it's grown by a factor of $2^{10} = 1024$.
- But what if you want to know: "After how many years will it be worth exactly 500 times the original?" That's a question only logarithms 对数 can answer.
O número que cresce para sempre
- Uma conta bancária dobra a cada 10 anos. Após 100 anos, cresceu por um fator de $2^{10} = 1024$.
- Mas e se você quiser saber: "Após quantos anos ela valerá exatamente 500 vezes o original?" Essa é uma pergunta que apenas logaritmos 对数 podem responder.
What is a logarithm?
- A logarithm answers "what power?": if $a^x = y$ then $x = \log_a y$.
- Example: $2^x = 32 \Rightarrow x = \log_2 32 = 5$.
Worked example. Solve $3^x = 81$. Since $81 = 3^4$, we get $x = \log_3 81 = 4$.
Earthquake strength is measured on the logarithmic Richter scale
O que é um logaritmo?
- Um logaritmo responde "qual potência?": se $a^x = y$ então $x = \log_a y$.
- Exemplo: $2^x = 32 \Rightarrow x = \log_2 32 = 5$.
Exemplo resolvido. Resolva $3^x = 81$. Como $81 = 3^4$, obtemos $x = \log_3 81 = 4$.
A força dos terremotos é medida na escala logarítmica de Richter
Exponential growth · Crescimento exponencial
y = a·bˣ
Change the base b: when b > 1 the curve grows, when 0 < b < 1 it decays · decai — and it always passes through (0, a). · Altere a base b: quando b > 1 a curva cresce, quando 0 < b < 1 ela decage — e sempre passa por (0, a).
Evaluate log₂(8). · Avalie log₂(8).
2³ = 8, so log₂(8) = 3. · 2³ = 8, logo log₂(8) = 3.
Solve 2ˣ = 8 for x. · Resolva 2 = 8 para x.
2³ = 8, so x = 3 (or x = log₂8 = 3). · 2³ = 8, logo x = 3 (ou x = log₂8 = 3).
The laws of logarithms 对数定律
- The laws of logarithms:
- $\log(mn) = \log m + \log n$,
- $\log\dfrac{m}{n} = \log m - \log n$,
- $\log(m^k) = k\log m$.
Logs don't distribute over addition. $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. The laws only apply to products, quotients, and powers — not sums.
Populations can grow exponentially when resources are plentiful
As leis dos logaritmos 对数定律
- As leis dos logaritmos:
- $\log(mn) = \log m + \log n$,
- $\log\dfrac{m}{n} = \log m - \log n$,
- $\log(m^k) = k\log m$.
Logaritmos não se distribuem sobre adição. $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. As leis aplicam-se apenas a produtos, quocientes e potências — não a somas.
Populações podem crescer exponencialmente quando recursos são abundantes
Which is a correct law of logarithms? · Qual é uma lei correta dos logaritmos?
log(mn) = log m + log n; and log(m^k) = k log m. · log(mn) = log m + log n; e log(m^k) = k log m.
log(a + b) = log a + log b.
Logarithms do not distribute over addition. log(a + b) ≠ log a + log b. · Logaritmos não se distribuem sobre adição. log(a + b) ≠ log a + log b.
e and ln
- $e^x$ and the natural logarithm 自然对数 $\ln x$ are inverses: $\ln(e^x) = x$ and $e^{\ln x} = x$.
- When the unknown is in the power, take logs of both sides.
$e^x$ and $\ln x$ are inverse functions: their graphs are reflections in the line $y = x$.
e e ln
- $e^x$ e o logaritmo natural 自然对数 $\ln x$ são inversos: $\ln(e^x) = x$ e $e^{\ln x} = x$.
- Quando a incógnita está no expoente, tire logaritmos de ambos os lados.
$e^x$ e $\ln x$ são funções inversas: seus gráficos são reflexões na linha $y = x$.
What is ln(e⁵)? · Qual é ln(e⁵)?
ln and e are inverses, so ln(e⁵) = 5. · ln e e inversas, então ln(e⁵) = 5.
Linear form 线性形式 and modelling
- Linear form: $y = Ax^n$ becomes $\ln y = \ln A + n\ln x$ — a line with gradient $n$, intercept $\ln A$.
- This lets you find the power law from experimental data by plotting $\ln y$ vs $\ln x$.
- Logarithms and indices (powers) are reverse operations.
Forma linear 线性形式 e modelagem
- Forma linear: $y = Ax^n$ torna-se $\ln y = \ln A + n\ln x$ — uma reta com inclinação $n$, intercepto $\ln A$.
- Isso permite encontrar a lei de potência a partir de dados experimentais plotando $\ln y$ vs $\ln x$.
- Logaritmos e índices (potências) são operações inversas.
If y = 5x³, then ln y = ln 5 + n ln x. What is n? · Se y = 5x³, então ln y = ln 5 + n ln x. Qual é n?
ln(5x³) = ln 5 + 3 ln x, so n = 3 (the power becomes the gradient). · ln(5x³) = ln 5 + 3 ln x, logo n = 3 (o expoente torna-se o coeficiente).
You've got it
- a log answers "what power?"; laws: $\log mn = \log m + \log n$, $\log m^k = k\log m$
- $e^x$ and $\ln x$ are inverses; take logs when the unknown is a power
- linear form: plot $\ln y$ vs $\ln x$ → gradient $n$, intercept $\ln A$
Entendeu?
- um log responde "que potência?"; leis: $\log mn = \log m + \log n$, $\log m^k = k\log m$
- $e^x$ e $\ln x$ são inversos; tire logs quando a incógnita for uma potência
- forma linear: plotar $\ln y$ vs $\ln x$ → inclinação $n$, intercepto $\ln A$