Integration (Further Pure 2) · Integração (Further Pure 2)
| English | Português |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | primitiva |
| standard form/ˈstændəd fɔːm/ | forma padrão |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | substituição |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | hiperbólica |
| trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ | trigonométrica |
| surd/sɜːd/ | irrational |
| reduction formula/rɪˈdʌkʃn ˈfɔːmjʊlə/ | fórmula de redução |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | comprimento de arco |
Integrals that fight back
- Some integrals have no obvious antiderivative 原函数 — until you spot the standard form 标准形式 or the right substitution 代换.
- Further Pure 2 gives you a toolkit: inverse-trig standard integrals, trig/hyperbolic 双曲 substitutions, and reduction formulae.
Integrais que revidam
- Algumas integrais não têm uma primitiva óbvia 原函数 — até você identificar a forma padrão 标准形式 ou a substituição 代换 correta.
- Further Pure 2 oferece um kit de ferramentas: integrais padrão inverso-trigonométricas, substituições trigonométricas/hiperbólicas 双曲 e fórmulas de redução.
Standard integrals
- Two results worth memorising:
- Match the integral to the form, read off $a$, and write the answer.
A definite integral measures the area under a curve
Integrais padrão
- Dois resultados valem a pena memorizar:
- Iguale a integral à forma, leia $a$ e escreva a resposta.
Uma integral definida mede a área sob uma curva
The area under the curve · A área sob a curva
area = ∫ f(x) dx · área = ∫ f(x) dx
Every integral measures the area · área under the curve — drag the limits. · Toda integral mede a área sob a curva — arraste os limites.
What is ∫ 1/(a² + x²) dx? · Qual é ∫ 1/(a² + x²) dx?
This is the standard inverse-tangent integral. · Esta é a integral padrão da tangente inversa.
What is ∫ 1/√(4 − x²) dx? · Qual é ∫ 1/√(4 − x²) dx?
With a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C. · Com a = 2, ∫1/√(a²−x²) dx = sin⁻¹(x/a) = sin⁻¹(x/2) + C.
Match each integral to its result. · Relacione cada integral ao seu resultado.
The first two are the inverse-trig standard forms; ∫1/x dx = ln|x| + C. · As duas primeiras são as formas padrão das trigonométricas inversas; ∫1/x dx = ln|x| + C.
Substitution
- A trigonometric 三角 substitution ($x = a\sin\theta$ or $x = a\tan\theta$) turns a surd 根式 or quadratic denominator into something simple.
- A hyperbolic substitution ($x = a\sinh u$) handles $\sqrt{a^2 + x^2}$.
Worked example. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. Here $a^2 = 9$, so $a = 3$: the answer is $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
Substituição
- Uma substituição trigonométrica 三角 ($x = a\sin\theta$ ou $x = a\tan\theta$) transforma um radical 根式 ou denominador quadrático em algo simples.
- Uma substituição hiperbólica ($x = a\sinh u$) lida com $\sqrt{a^2 + x^2}$.
Exemplo resolvido. $\displaystyle\int \frac{1}{9 + x^2}\,dx$. Aqui $a^2 = 9$, então $a = 3$: a resposta é $\dfrac{1}{3}\tan^{-1}\dfrac{x}{3} + C$.
In ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, what is a? · Em ∫ 1/(9 + x²) dx = (1/a)tan⁻¹(x/a) + C, qual é a?
a² = 9 so a = 3; the integral is (1/3)tan⁻¹(x/3) + C. · a² = 9 logo a = 3; a integral é (1/3)tan⁻¹(x/3) + C.
Reduction formulae
- A reduction formula 递推公式 links an integral $I_n$ to a lower one $I_{n-1}$ (or $I_{n-2}$).
- Apply it repeatedly to climb down to a base case you can integrate directly.
Don't lose the limits. For a definite integral, the boundary term in a reduction formula is evaluated at the limits each time — a common place to drop a sign or a factor.
Fórmulas de redução
- Uma fórmula de redução 递推公式 liga uma integral $I_n$ a uma de ordem inferior $I_{n-1}$ (ou $I_{n-2}$).
- Aplique-a repetidamente para descer até um caso base que pode ser integrado diretamente.
Não perca os limites. Para uma integral definida, o termo de fronteira em uma fórmula de redução é avaliado nos limites cada vez — lugar comum para perder um sinal ou fator.
A reduction formula links an integral Iₙ to Iₙ₋₁ so you can work down step by step. · Uma fórmula de redução liga uma integral Iₙ a Iₙ₋₁ para que possa trabalhar passo a passo.
Reduction formulae express a higher-index integral in terms of a lower one. · Fórmulas de redução expressam uma integral de índice superior em termos de uma inferior.
Applications
- Integration also measures curves themselves:
- Arc length 弧长: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Surface area of revolution: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Integrate using trigonometric substitutions, hyperbolic functions, and completing the square in the denominator.
Aplicações
- A integração também mede curvas propriamente ditas:
- Comprimento de arco 弧长: $\displaystyle s = \int \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Área de superfície de revolução: $\displaystyle S = \int 2\pi y\,\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$.
- Integre usando substituições trigonométricas, funções hiperbólicas e completar o quadrado no denominador.
Arc length is the integral of √(1 + ()²) dx. · O comprimento de arco é a integral de √(1 + ()²) dx.
Arc length s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx. · Comprimento de arco s = ∫√(1 + (dy/dx)²) dx.
You've got it
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- use a trig / hyperbolic substitution for surds and quadratic denominators
- a reduction formula steps $I_n$ down to $I_{n-1}$; integration also gives arc length and surface area
Entendeu?
- $\int\dfrac{1}{a^2+x^2}dx = \dfrac1a\tan^{-1}\dfrac{x}{a} + C$; $\int\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = \sin^{-1}\dfrac{x}{a} + C$
- use uma substituição trig / hiperbólica para radicais e denominadores quadráticos
- uma fórmula de redução desce de $I_n$ para $I_{n-1}$; a integração também fornece comprimento de arco e área de superfície