Differentiation (Further Pure 2) · Diferenciação (Further Pure 2)
| English | Português |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinomial |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | Série de Maclaurin |
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | diferenciação |
| hyperbolic/ˌhaɪpəˈbɒlɪk/ | hiperbólica |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | coeficiente |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | intervalo de convergência |
| diverge/daɪˈvɜːdʒ/ | divergir |
How does a calculator find eˣ?
- Your calculator can't "do" $e^{0.7}$ directly — there's no button-press that knows it.
- Instead it adds up a few terms of a polynomial 多项式 that mimics $e^x$ near zero.
- That polynomial is a Maclaurin series 麦克劳林级数 — and building one starts with repeated differentiation 微分.
Como uma calculadora encontra eˣ?
- Sua calculadora não consegue "fazer" $e^{0.7}$ diretamente — não há botão que saiba disso.
- Em vez disso, ela soma alguns termos de um polinômio 多项式 que imita $e^x$ perto de zero.
- Esse polinômio é uma série de Maclaurin 麦克劳林级数 — e construí-la começa com derivações repetidas 微分.
New derivatives to know
- Further Pure 2 adds derivatives of the hyperbolic 双曲 and inverse functions:
| function | derivative |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- You can also find $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ for implicit and parametric curves.
Each extra Maclaurin term hugs e^x over a wider range
Novas derivadas para saber
- Further Pure 2 adiciona derivadas das funções hiperbólicas 双曲 e inversas:
| função | derivada |
|---|---|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\sin^{-1}x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ |
| $\tan^{-1}x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ |
- Você também pode encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ para curvas implícitas e paramétricas.
Cada termo extra de Maclaurin abraça e^x sobre uma faixa mais ampla
The gradient at a point · A inclinação num ponto
gradient = dy/dx · gradiente = dy/dx
The · A derivative is the slope of the tangent · tangente, however exotic the function. · A derivada é a inclinação da tangente, por mais exótica que seja a função.
The derivative of sinh x is: · A derivada de sinh x é:
d/dx(sinh x) = cosh x (and d/dx(cosh x) = sinh x). · d/dx(sinh x) = cosh x (e d/dx(cosh x) = sinh x).
The derivative of tan⁻¹x is 1/(1+x²). What is its value at x = 0? · A derivada de tan⁻¹x é 1/(1+x²). Qual é o seu valor em x = 0?
1/(1+0²) = 1.
Match each function to its derivative. · Relacione cada função à sua derivada.
The hyperbolic pair swap (no minus sign, unlike sin/cos); the inverse trig derivatives are the standard rational/surd forms. · O par hiperbólico inverte-se (sem sinal negativo, ao contrário de sin/cos); as derivadas trigonométricas inversas são as formas racionais/radicais padrão.
Maclaurin's series
- A Maclaurin series rebuilds a function as an infinite polynomial using its derivatives at $0$:
- Each coefficient 系数 needs the next derivative, evaluated at $x = 0$.
Série de Maclaurin
- Uma série de Maclaurin reconstrói uma função como um polinômio infinito usando suas derivadas em $0$:
- Cada coeficiente 系数 precisa da próxima derivada, avaliada em $x = 0$.
In a Maclaurin series, the constant term is f(0). For f(x) = eˣ, what is f(0)? · Numa série de Maclaurin, o termo constante é f(0). Para f(x) = eˣ, qual é f(0)?
e⁰ = 1, so the constant term is 1. · e⁰ = 1, logo o termo constante é 1.
In the Maclaurin series, the coefficient of xⁿ has n-factorial (written n!) in the ______. · Na série de Maclaurin, o coeficiente de xⁿ tem n-fatorial (escrito n!) no ______.
The xⁿ term is f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — the n! is in the denominator. · O termo xⁿ é f⁽ⁿ⁾(0)/n! · xⁿ — o n! está no denominador.
Worked example — the series for eˣ
- For $f(x) = e^x$, every derivative is $e^x$, and $e^0 = 1$. So every coefficient is $\dfrac{1}{n!}$:
Each extra term bends the polynomial closer to $e^x$ near $x = 0$ — exactly how a calculator works.
More standard series. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ and $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (valid for $|x| < 1$).
Exemplo resolvido — a série para eˣ
- Para $f(x) = e^x$, toda derivada é $e^x$, e $e^0 = 1$. Então todo coeficiente é $\dfrac{1}{n!}$:
Cada termo extra dobra o polinômio mais perto de $e^x$ perto de $x = 0$ — exatamente como uma calculadora funciona.
Mais séries padrão. $\sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots$ e $\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots$ (válidas para $|x| < 1$).
The Maclaurin series of eˣ begins: · A série de Maclaurin de eˣ começa:
eˣ = Σ xⁿ/n! = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
Where the series is valid
- A Maclaurin series only matches the function within its interval of convergence 收敛区间.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ converge for all $x$; but $\ln(1+x)$ only for $-1 < x \leq 1$.
Check convergence before you trust it. Far outside the valid interval the polynomial diverges 发散 wildly from the function — more terms make it worse, not better.
- Differentiate hyperbolic functions and inverse functions, and relations given implicitly or parametrically.
Onde a série é válida
- Uma série de Maclaurin só corresponde à função dentro de seu intervalo de convergência 收敛区间.
- $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ convergem para todos $x$; mas $\ln(1+x)$ apenas para $-1 < x \leq 1$.
Verifique a convergência antes de confiar nela. Longe do intervalo válido, o polinômio diverge 发散 selvagemmente da função — mais termos tornam isso pior, não melhor.
- Derive funções hiperbólicas e funções inversas, e relações dadas implicitamente ou parametricamente.
The Maclaurin series for ln(1+x) is valid for every value of x. · A série de Maclaurin para ln(1+x) é válida para todos os valores de x.
It only converges for −1 < x ≤ 1; outside that interval it diverges. · Converge apenas para −1 < x ≤ 1; fora desse intervalo diverge.
You've got it
- new derivatives: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — more terms fit better, within the interval of convergence
Entendeu?
- novas derivadas: $\sinh x \to \cosh x$, $\tan^{-1}x \to \dfrac{1}{1+x^2}$, $\sin^{-1}x \to \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
- Maclaurin: $f(x) = f(0) + f'(0)x + \dfrac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$
- $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$ — mais termos cabem melhor, dentro do intervalo de convergência