Matrices (Further Pure 2) · Matrizes (Further Pure 2)
| English | Português |
|---|---|
| stretch/stretʃ/ | alongamento |
| eigenvector/ˈaɪdʒənvektə/ | vetor próprio |
| eigenvalue/ˈaɪdʒənvæljuː/ | valor próprio |
| diagonalisation/daɪˌæɡənəlaɪˈzeɪʃn/ | diagonalização |
| matrix equation/ˈmeɪtrɪks ɪˈkweɪʒn/ | equação matricial |
| characteristic equation/ˌkærɪktəˈrɪstɪk ɪˈkweɪʒn/ | equação característica |
| scalar/ˈskeɪlə/ | escalar |
| diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/ | matriz diagonal |
The hidden directions in a matrix
- Every matrix transforms space. Some directions are special: the matrix only stretches 拉伸 them, without rotating. These are the eigenvectors 特征向量, and the stretch factors are the eigenvalues 特征值.
- Eigenvalues unlock the structure of a matrix — they're the key to diagonalisation 对角化, stability analysis, and Google's PageRank algorithm.
Direções ocultas em uma matriz
- Toda matriz transforma o espaço. Algumas direções são especiais: a matriz apenas estica 拉伸 elas, sem rotacionar. Estas são os vetores próprios 特征向量, e os fatores de estiramento são os autovalores 特征值.
- Autovalores desbloqueiam a estrutura de uma matriz — eles são a chave para a diagonalização 对角化, análise de estabilidade e o algoritmo PageRank do Google.
Matrix equations 矩阵方程
- Three linear equations in three unknowns → a matrix equation $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. A non-singular $A$ gives one unique solution: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
Worked example. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. Solving: $2x + y = 5$ and $x + 3y = 7$. Solution: $x = \dfrac{8}{5}$, $y = \dfrac{9}{5}$.
An eigenvector keeps its direction under the matrix; a general vector is turned
Equações matriciais 矩阵方程
- Três equações lineares em três incógnitas → uma equação matricial $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$. Uma $A$ não singular dá uma solução única: $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.
Exemplo resolvido. $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \end{pmatrix}$. Resolvendo: $2x + y = 5$ e $x + 3y = 7$. Solução: $x = \dfrac{8}{5}$, $y = \dfrac{9}{5}$.
Um vetor próprio mantém sua direção sob a matriz; um vetor geral é virado
Matrices (Further Pure 2) · Matrizes (Further Pure 2)
(x', y') = M(x, y)
Rotations, reflections and shears are all matrices — read them off the transformed basis vectors. · Rotações, reflexões e cisalhamentos são todas matrizes — leia-as nos vetores da base transformados.
Eigenvalues and eigenvectors
- The characteristic equation 特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ gives the eigenvalues $\lambda$.
- For each $\lambda$, the eigenvector $\mathbf{v}$ satisfies $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- Multiplying an eigenvector by $A$ only stretches it (by factor $\lambda$), without changing its direction.
Eigenvectors are not unique. If $\mathbf{v}$ is an eigenvector, so is $k\mathbf{v}$ for any non-zero scalar 标量 $k$. We usually choose the simplest form (smallest integers).
Autovalores e vetores próprios
- A equação característica 特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$ fornece os autovalores $\lambda$.
- Para cada $\lambda$, o vetor próprio $\mathbf{v}$ satisfaz $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$.
- Multiplicar um vetor próprio por $A$ apenas o estica (por fator $\lambda$), sem alterar sua direção.
Vetores próprios não são únicos. Se $\mathbf{v}$ é um vetor próprio, então $k\mathbf{v}$ também é para qualquer escalar não nulo 标量 $k$. Geralmente escolhemos a forma mais simples (menores inteiros).
The matrix [[2,1],[1,2]] has characteristic equation (2−λ)² − 1 = 0, giving λ = 1 or λ = 3. What is the larger eigenvalue? · A matriz [[2,1],[1,2]] tem equação característica (2−λ)² − 1 = 0, dando λ = 1 ou λ = 3. Qual é o maior autovalor?
(2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 or 3; the larger is 3. · (2−λ)² = 1 → 2−λ = ±1 → λ = 1 ou 3; o maior é 3.
The eigenvalues of a matrix A are found by solving: · Os autovectores de uma matriz A são encontrados resolvendo:
The characteristic equation det(A − λI) = 0 gives the eigenvalues. · A equação característica det(A − λI) = 0 dá os autovectores.
Multiplying an eigenvector by A only stretches it (Av = λv). · Multiplicar um autovector por A apenas o alonga (Av = λv).
An eigenvector keeps its direction; A just scales it by the eigenvalue λ. · Um autovector mantém sua direção; A apenas o escala pelo autovector λ.
If v is an eigenvector of A, then 2v is also an eigenvector of A. · Se v é um autovector de A, então 2v também é um autovector de A.
Eigenvectors are not unique — any non-zero scalar multiple of an eigenvector is also an eigenvector. · Os autovetores não são únicos — qualquer múltiplo escalar não nulo de um autovetor também é um autovetor.
Diagonalisation
- You can write $A = QDQ^{-1}$, where $D$ is a diagonal matrix 对角矩阵 of eigenvalues and the columns of $Q$ are the eigenvectors.
- This makes computing $A^n$ easy: $A^n = QD^nQ^{-1}$, and $D^n$ is just the diagonal entries raised to the $n$th power.
Diagonalização
- Você pode escrever $A = QDQ^{-1}$, onde $D$ é uma matriz diagonal 对角矩阵 de autovalores e as colunas de $Q$ são os vetores próprios.
- Isso facilita calcular $A^n$: $A^n = QD^nQ^{-1}$, e $D^n$ são apenas as entradas diagonais elevadas à $n$ª potência.
In the diagonalisation A = QDQ⁻¹, the matrix D contains: · Na diagonalização A = QDQ⁻¹, a matriz D contém:
D is a diagonal matrix with the eigenvalues of A on its main diagonal. · D é uma matriz diagonal com os autovectores de A em sua diagonal principal.
If A = QDQ⁻¹, then A³ = QD³Q⁻¹. If D has diagonal entries 1 and 3, D³ has diagonal entries 1 and ? · Se A = QDQ⁻¹, então A³ = QD³Q⁻¹. Se D tem entradas diagonais 1 e 3, D³ tem entradas diagonais 1 e ?
D³ has diagonal entries 1³ = 1 and 3³ = 27. · D³ tem entradas diagonais 1³ = 1 e 3³ = 27.
Worked example
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Characteristic equation: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ or $3$.
- For $\lambda = 1$: eigenvector $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. For $\lambda = 3$: eigenvector $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- A matrix with zero determinant has a singularity (it is singular and has no inverse).
Exemplo resolvido
- $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$. Equação característica: $(2-\lambda)^2 - 1 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 1$ ou $3$.
- Para $\lambda = 1$: vetor próprio $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Para $\lambda = 3$: vetor próprio $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
- Uma matriz com determinante zero tem uma singularidade (ela é singular e não possui inversa).
You've got it
- eigenvalues solve $\det(A - \lambda I) = 0$; eigenvectors satisfy $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- multiplying an eigenvector by $A$ only stretches it
- diagonalise: $A = QDQ^{-1}$ (D = eigenvalues, Q's columns = eigenvectors)
Entendeu?
- autovalores resolvem $\det(A - \lambda I) = 0$; vetores próprios satisfazem $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$
- multiplicar um vetor próprio por $A$ apenas o estica
- diagonalizar: $A = QDQ^{-1}$ (D = autovalores, colunas de Q = vetores próprios)