Polar coordinates · Coordenadas polares
| English | Português |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | Cartesiana |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | coordenadas polares |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | simetria rotacional |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | cardioide |
| sector/ˈsektə/ | setorial |
The coordinate system that simplifies circles
- Describing a spiral or a circle in Cartesian 笛卡尔 coordinates requires messy equations. In polar coordinates 极坐标, a circle is just $r = \text{constant}$.
- Polar coordinates are natural for anything with rotational symmetry 旋转对称 — from planetary orbits to radar screens.
O sistema de coordenadas que simplifica círculos
- Descrever uma espiral ou um círculo em coordenadas cartesianas 笛卡尔 exige equações complicadas. Em coordenadas polares 极坐标, um círculo é simplesmente $r = \text{constant}$.
- Coordenadas polares são naturais para qualquer coisa com simetria rotacional 旋转对称 — de órbitas planetárias a telas de radar.
Polar coordinates
- Polar coordinates give a point by distance $r$ from the origin and angle $\theta$.
- Links to Cartesian:
Worked example. The point $(r, \theta) = (5, 60°)$ in Cartesian: $x = 5\cos 60° = 2.5$, $y = 5\sin 60° = 4.33$. So the point is $(2.5, 4.33)$.
Polar coordinates $(r,\theta)$ convert to Cartesian by $x=r\cos\theta$ and $y=r\sin\theta$
A spiral staircase: spirals are described naturally in polar coordinates (r, theta)
Coordenadas polares
- Coordenadas polares dão um ponto pela distância $r$ da origem e pelo ângulo $\theta$.
- Links para cartesianas:
Exemplo resolvido. O ponto $(r, \theta) = (5, 60°)$ em cartesianas: $x = 5\cos 60° = 2.5$, $y = 5\sin 60° = 4.33$. Então o ponto é $(2.5, 4.33)$.
Coordenadas polares $(r,\theta)$ convertem para cartesianas por $x=r\cos\theta$ e $y=r\sin\theta$
Uma escada de caracol: espirais são descritas naturalmente em coordenadas polares (r, theta)
Polar coordinates · Coordenadas polares
r = f(θ)
In polar form a point is (r, θ). Beautiful curves — roses, cardioids, spirals — come from r = f(θ). · Na forma polar, um ponto é (r, θ). Curvas lindas — rosas, cardioides, espirais — vêm de r = f(θ).
In polar coordinates, the x-coordinate is given by: · Em coordenadas polares, a coordenada x é dada por:
x = r cos θ and y = r sin θ. · x = r cos θ e y = r sin θ.
Convert (r, θ) = (5, 60°) to Cartesian. What is x = r cos 60°? · Converta (r, θ) = (5, 60°) para cartesiano. Qual é x = r cos 60°?
x = 5 cos 60° = 5 × 0.5 = 2.5.
For the point (3, 4) in Cartesian, r² = x² + y². Find r². · Para o ponto (3, 4) em cartesiano, r² = x² + y². Encontre r².
r² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
Polar curves
- Common polar curves:
r = 4cos θ is a circle of radius 2 centred at (2, 0) — polar form makes it a one-line equation.
- $r = a$ — a circle of radius $a$ centred at the origin.
- $r = a\cos\theta$ — a circle of radius $\dfrac{a}{2}$ centred at $\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$.
- $r = a(1 + \cos\theta)$ — a cardioid 心脏线 (heart shape).
Curvas polares
- Curvas polares comuns:
r = 4cos θ é um círculo de raio 2 centrado em (2, 0) — a forma polar torna isso uma equação de uma única linha.
- $r = a$ — um círculo de raio $a$ centrado na origem.
- $r = a\cos\theta$ — um círculo de raio $\dfrac{a}{2}$ centrado em $\left(\dfrac{a}{2}, 0\right)$.
- $r = a(1 + \cos\theta)$ — um cardióide 心脏线 (formato de coração).
The polar curve r = 4cos θ is a circle. What is its radius? · A curva polar r = 4cos θ é um círculo. Qual é seu raio?
r = 4cos θ gives x² + y² = 4x, i.e. (x−2)² + y² = 4 — a circle of radius 2. · r = 4cos θ dá x² + y² = 4x, ou seja, (x−2)² + y² = 4 — um círculo de raio 2.
The polar curve r = a(1 + cos θ) is called a: · A curva polar r = a(1 + cos θ) é chamada de:
r = a(1 + cos θ) traces a heart-shaped curve called a cardioid. · r = a(1 + cos θ) traça uma curva em forma de coração chamada cardioide.
Polar area
- Sector 扇形 area: $\text{area} = \tfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$.
Don't forget the $\dfrac{1}{2}$. The polar area formula has a factor of $\dfrac{1}{2}$ that's easy to miss. It comes from the area of a thin triangular sector: $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$.
A cardioid r = 1 + cos theta, a curve sketched directly in polar form
Área polar
- Área do setor 扇形: $\text{area} = \tfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta$.
Não esqueça o $\dfrac{1}{2}$. A fórmula de área polar tem um fator de $\dfrac{1}{2}$ que é fácil de esquecer. Ele vem da área de um pequeno setor triangular: $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$.
Um cardióide r = 1 + cos theta, uma curva esboçada diretamente na forma polar
The area of a polar sector is ½∫r² dθ. · A área de um setor polar é ½∫r² dθ.
This is the standard polar area formula. · Esta é a fórmula padrão de área polar.
Converting curves
- Example: $r = 4\cos\theta$ → multiply by $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$ → $x^2 + y^2 = 4x$ → $(x-2)^2 + y^2 = 4$, a circle radius $2$.
Conversão de curvas
- Exemplo: $r = 4\cos\theta$ → multiplique por $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$ → $x^2 + y^2 = 4x$ → $(x-2)^2 + y^2 = 4$, um círculo de raio $2$.
You've got it
- $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$
- polar sector area $= \tfrac12\int r^2\,d\theta$
- $r = 4\cos\theta$ is a circle of radius 2 centred at $(2, 0)$
Entendeu?
- $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$
- área de setor polar $= \tfrac12\int r^2\,d\theta$
- $r = 4\cos\theta$ é um círculo de raio 2 centrado em $(2, 0)$