Matrices · Matrizes
| English | Português |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | matriz |
| transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/ | transformação |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | matriz identidade |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | determinante |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | inverso |
| singular/ˈsɪŋɡjʊlə/ | singular |
| invariant/ɪnˈveərɪənt/ | invariante |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | ampliação |
The mathematics that powers computer graphics
- Every time you rotate an image on your phone, a matrix 矩阵 multiplication is doing the work behind the scenes.
- Matrices are the language of transformations 变换 — they describe rotations, reflections, stretches, and projections in a single compact object.
A matemática que impulsiona a computação gráfica
- Toda vez que você rotaciona uma imagem no seu celular, uma multiplicação de matrizes 矩阵 está fazendo o trabalho nos bastidores.
- Matrizes são a linguagem de transformações 变换 — elas descrevem rotações, reflexões, alongamentos e projeções em um único objeto compacto.
Matrix basics
- A matrix is a rectangular block of numbers. Multiply row × column.
- The identity matrix 单位矩阵 $I$ leaves a matrix unchanged: $AI = IA = A$.
Worked example. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
Noções básicas de matriz
- Uma matriz é um bloco retangular de números. Multiplique linha × coluna.
- A matriz identidade 单位矩阵 $I$ deixa uma matriz inalterada: $AI = IA = A$.
Exemplo resolvido. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5) + 2(6) \\ 3(5) + 4(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix}$.
Matrices · Matrizes
(x', y') = M(x, y)
A matrix transforms the plane; its determinant is the area scale factor (negative = a flip). · Uma matriz transforma o plano; seu determinante é o fator de escala de área (negativo = inversão).
Multiply [[1, 2], [3, 4]] by [[5], [6]]. The top entry of the result is? · Multiplique [[1, 2], [3, 4]] por [[5], [6]]. A entrada superior do resultado é?
1(5) + 2(6) = 5 + 12 = 17.
Put the steps for finding the inverse of a 2x2 matrix [[a,b],[c,d]] in order. · Coloque as etapas para encontrar a inversa de uma matriz 2x2 [[a,b],[c,d]] em ordem.
The inverse is (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — swap the diagonal, negate the off-diagonal, divide by det. · A inversa é (1/det)[[d,−b],[−c,a]] — troque a diagonal, inverta os sinais da antidiagonal, divida por det.
Determinants 行列式 and inverses 逆
- For $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: the determinant is $\det A = ad - bc$.
- If $\det A \neq 0$ (non-singular 奇异), the inverse is $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Singular matrices have no inverse. If $\det A = 0$, the matrix is singular — it squashes the plane into a line, losing information that can't be recovered.
Determinantes 行列式 e inversas 逆
- Para $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$: o determinante é $\det A = ad - bc$.
- Se $\det A \neq 0$ (não singular 奇异), a inversa é $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
Matrizes singulares não possuem inversa. Se $\det A = 0$, a matriz é singular — ela achatá o plano em uma linha, perdendo informações que não podem ser recuperadas.
What is the determinant of the matrix [[3, 1], [2, 4]] (ad − bc)? · Qual é o determinante da matriz [[3, 1], [2, 4]] (ad − bc)?
det = 3×4 − 1×2 = 12 − 2 = 10.
A 2×2 matrix has an inverse exactly when its determinant is: · Uma matriz 2×2 tem inversa exatamente quando seu determinante é:
A non-singular matrix (det ≠ 0) is invertible; det = 0 means singular (no inverse). · Uma matriz não singular (det ≠ 0) é invertível; det = 0 significa singular (sem inversa).
For A = [[3, 1], [2, 4]] with det = 10, the top-left entry of A⁻¹ is d/det. Find it. · Para A = [[3, 1], [2, 4]] com det = 10, a entrada superior esquerda de A⁻¹ é d/det. Encontre-a.
A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. Top-left = 4/10 = 0.4. · A⁻¹ = (1/10)[[4, -1], [-2, 3]]. Superior esquerda = 4/10 = 0.4.
Matrices as transformations
- A $2\times2$ matrix represents a transformation of the plane; $\det A$ = the area scale factor.
A 2x2 matrix maps the unit square to a parallelogram; its determinant is the area scale factor.
- A product $AB$ means "do $B$, then $A$". Points/lines that don't move are invariant 不变.
Matrizes como transformações
- Uma matriz $2\times2$ representa uma transformação do plano; $\det A$ = o fator de escala de área.
Uma matriz 2x2 mapeia o quadrado unidade para um paralelogramo; seu determinante é o fator de escala de área.
- Um produto $AB$ significa "faça $B$, depois $A$". Pontos/linhas que não se movem são ** invariantes** 不变.
For a transformation matrix, the determinant gives the: · Para uma matriz de transformação, o determinante fornece o:
The determinant is the factor by which areas are scaled by the transformation. · O determinante é o fator pelo qual as áreas são escaladas pela transformação.
For matrices A and B, the product AB means "do B first, then A". · Para matrizes A e B, o produto AB significa "faça B primeiro, depois A".
Matrix multiplication is applied right to left: AB(x) = A(B(x)), so B acts first. · A multiplicação de matrizes é aplicada da direita para a esquerda: AB(x) = A(B(x)), então B age primeiro.
Common transformations
| Matrix | Transformation |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | Reflection in $y$-axis |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | Rotation $90°$ anticlockwise |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | Enlargement 放大 scale factor $k$ |
- Know matrix addition, the zero matrix, the identity (or unit) matrix, and invariant points and invariant lines of a transformation.
Transformações comuns
| Matriz | Transformação |
|---|---|
| $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ | Reflexão no eixo $y$ |
| $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ | Rotação $90°$ anti-horário |
| $\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$ | Ampliação 放大 fator de escala $k$ |
- Saiba adição de matrizes, a matriz nula, a matriz identidade (ou unidade), e os pontos invariantes e linhas invariantes de uma transformação.
You've got it
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; invertible when $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- a matrix is a transformation; $\det$ = area scale factor; $AB$ = "do $B$, then $A$"
Entendeu?
- $\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$; invertível quando $\det \neq 0$
- $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$
- uma matriz é uma transformação; $\det$ = fator de escala de área; $AB$ = "faça $B$, depois $A$"