Rational functions and graphs · Funções racionais e gráficos
| English | Português |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | polinomial |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota vertical |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | assíntota oblíqua |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | denominador |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | função racional |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | resto |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | quociente |
The graph that breaks the rules
- Most functions you've met are polynomials 多项式 — smooth, continuous, defined everywhere. But divide one polynomial by another and you get something wilder: vertical asymptotes 垂直渐近线, oblique asymptotes 斜渐近线, and behaviour that changes dramatically near the zeros of the denominator 分母.
- Rational functions 有理函数 are the gateway to understanding more complex curves.
O gráfico que quebra as regras
- A maioria das funções que você encontrou são polinômios 多项式 — suaves, contínuas e definidas em toda parte. Mas dividir um polinômio por outro gera algo mais complexo: assíntotas verticais 垂直渐近线, assíntotas oblíquas 斜渐近线, e comportamento que muda drasticamente perto dos zeros do denominador 分母.
- Funções racionais 有理函数 são a porta de entrada para entender curvas mais complexas.
What is a rational function?
- A rational function is a fraction of two polynomials: $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
- The denominator's zeros give vertical asymptotes (where the function shoots to $\pm\infty$).
Worked example. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}$. Vertical asymptote at $x = 2$. Dividing: $f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x-2}$. The oblique asymptote is $y = x + 2$.
O que é uma função racional?
- Uma função racional é uma fração de dois polinômios: $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$.
- Os zeros do denominador fornecem assíntotas verticais (onde a função tende a $\pm\infty$).
Exemplo resolvido. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 2}$. Assíntota vertical em $x = 2$. Dividindo: $f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x-2}$. A assíntota oblíqua é $y = x + 2$.
Rational functions · Funções racionais
y = a/(x − b) + c
A rational function has asymptotes the curve approaches but never touches. · Uma função racional possui assíntotas que a curva aproxima, mas nunca toca.
A rational function is a fraction of two polynomials. · Uma função racional é uma fração de dois polinômios.
That is the definition — one polynomial over another. · Essa é a definição — um polinômio sobre outro.
Oblique (slant) asymptotes
- When the top has higher degree than the bottom, the graph has an oblique (slant) asymptote — find it by polynomial long division.
- The remainder 余数 term vanishes as $x \to \infty$, leaving the quotient 商 as the asymptote.
The curve hugs the vertical asymptote x = 2 and the oblique asymptote y = x + 2 far from the origin.
Don't forget the remainder. When dividing, the function equals the quotient plus the remainder over the divisor. The asymptote is just the quotient — the remainder tells you which side of the asymptote the curve approaches from.
Assíntotas oblíquas (inclinadas)
- Quando o numerador tem grau maior que o denominador, o gráfico possui uma assíntota oblíqua (inclinada) — encontre-a usando divisão longa de polinômios.
- O termo de resto 余数 desaparece quando $x \to \infty$, deixando o quociente 商 como a assíntota.
A curva se aproxima da assíntota vertical x = 2 e da assíntota oblíqua y = x + 2 longe da origem.
Não esqueça o resto. Ao dividir, a função é igual ao quociente mais o resto dividido pelo divisor. A assíntota é apenas o quociente — o resto indica de qual lado da assíntota a curva se aproxima.
A rational function has an oblique (slant) asymptote when the degree of the top is: · Uma função racional possui uma assíntota oblíqua (inclinada) quando o grau do numerador é:
When the numerator's degree exceeds the denominator's, dividing out leaves a slant line the curve approaches. · Quando o grau do numerador excede o do denominador, a divisão deixa uma linha inclinada que a curva aproxima.
You find an oblique asymptote by: · Você encontra uma assíntota oblíqua através de:
Polynomial division gives the straight-line part the curve approaches far from the origin. · A divisão polinomial fornece a parte de linha reta que a curva aproxima longe da origem.
For f(x) = (x²−1)/(x−2), divide to get f(x) = x + 2 + 3/(x−2). The oblique asymptote is y = x + ? · Para f(x) = (x²−1)/(x−2), divida para obter f(x) = x + 2 + 3/(x−2). A assíntota oblíqua é y = x + ?
The quotient is x + 2, so the oblique asymptote is y = x + 2. · O quociente é x + 2, portanto a assíntota oblíqua é y = x + 2.
Related graphs
- You should relate $y = f(x)$ to:
- $y^2 = f(x)$ — only exists where $f(x) \geq 0$, symmetric about the $x$-axis.
- $y = \dfrac{1}{f(x)}$ — zeros become asymptotes, asymptotes become zeros.
- $y = |f(x)|$ — reflects negative parts above the $x$-axis.
- $y = f(|x|)$ — reflects the right half to the left.
Gráficos relacionados
- Você deve relacionar $y = f(x)$ com:
- $y^2 = f(x)$ — existe apenas onde $f(x) \geq 0$, simétrico em relação ao eixo $x$.
- $y = \dfrac{1}{f(x)}$ — zeros tornam-se assíntotas, assíntotas tornam-se zeros.
- $y = |f(x)|$ — reflete as partes negativas acima do eixo $x$.
- $y = f(|x|)$ — reflete a metade direita para a esquerda.
For y = 1/f(x), the zeros of f(x) become vertical asymptotes. · Para y = 1/f(x), os zeros de f(x) tornam-se assíntotas verticais.
Where f(x) = 0, 1/f(x) is undefined — giving a vertical asymptote. · Onde f(x) = 0, 1/f(x) não está definido — resultando em uma assíntota vertical.
The graph of y = |f(x)| is obtained from y = f(x) by: · O gráfico de y = |f(x)| é obtido a partir de y = f(x) por:
The modulus reflects any part of the graph below the x-axis to above it. · O módulo reflete qualquer parte do gráfico abaixo do eixo x para cima dele.
Worked example — sketching $y = \dfrac{1}{f(x)}$
- If $f(x) = x^2 - 4$ (roots at $\pm 2$, minimum at $(0, -4)$):
- $\dfrac{1}{f(x)}$ has vertical asymptotes at $x = \pm 2$.
- The minimum of $f$ at $-4$ becomes a local maximum of $\dfrac{1}{f}$ at $-\dfrac{1}{4}$.
- Find the set of values a rational function takes using the discriminant, and its turning points.
Exemplo resolvido — esboçando $y = \dfrac{1}{f(x)}$
- Se $f(x) = x^2 - 4$ (raízes em $\pm 2$, mínimo em $(0, -4)$):
- $\dfrac{1}{f(x)}$ tem assíntotas verticais em $x = \pm 2$.
- O mínimo de $f$ em $-4$ torna-se um máximo local de $\dfrac{1}{f}$ em $-\dfrac{1}{4}$.
- Encontre o conjunto de valores assumidos por uma função racional usando o discriminante, e seus pontos de virada.
You've got it
- a rational function = polynomial ÷ polynomial
- top degree > bottom degree → an oblique asymptote (found by division)
- learn the related graphs: $y^2 = f$, $1/f$, $|f|$, $f(|x|)$
Entendeu?
- uma função racional = polinômio ÷ polinômio
- grau do topo > grau de baixo → uma assíntota oblíqua (encontrada por divisão)
- aprenda os gráficos relacionados: $y^2 = f$, $1/f$, $|f|$, $f(|x|)$