Escopo e pré-requisitos
Baseado no framework Digital SAT. Estas tarefas impressas não são adaptativas e não predizem uma pontuação escalonada.
- Recuperar o centro e raio do círculo completando quadrados
- Converter ângulos centrais e calcular comprimento de arco e área de setor
- Usar relações tangente, ângulo inscrito e círculo unitário
Pré-requisitos: Completar quadrados; raio; radianos; razões de triângulo retângulo.
Explicar e escolher o método
Um círculo com centro (h,k) e raio r satisfaz (x-h)²+(y-k)²=r². Para uma equação expandida, complete o quadrado em x e y e adicione as constantes de equilíbrio ao outro lado. O lado resultante deve ser positivo para um círculo real não degenerado. Mantenha o raio distinto de seu quadrado.
Um ângulo central θ em radianos fornece comprimento de arco rθ e área de setor r²θ/2. Em graus, use a fração θ/360 da circunferência ou área total. Uma volta completa é 2π radianos=360°. As fórmulas rθ e r²θ/2 exigem radianos; inserir graus sem conversão gera escala incorreta.
Uma tangente em um ponto do círculo é perpendicular ao raio naquele ponto. Um ângulo inscrito é metade do ângulo central que subtende o mesmo arco; um ângulo que subtende um diâmetro é reto. Identifique o arco comum real e o centro antes de aplicar essas afirmações. Uma corda não é uma tangente e não precisa ser perpendicular a um raio, a menos que condições adicionais a estabeleçam.
No círculo unitário, um ponto no ângulo θ tem coordenadas (cos θ, sin θ), logo cos²θ+sin²θ=1. Os sinais dependem do quadrante. Para ângulos complementares agudos, sin θ=cos(90°-θ). Use triângulos especiais para valores exatos: em 30° o seno é 1/2 e o cosseno é √3/2; em 45° ambos são 2/2.
Complete ambos os quadrados em uma equação de círculo. $x^2+y^2+6x-8y=0$ torna-se $(x+3)^2+(y-4)^2=25$. O centro é $(-3,4)$ e o raio é 5. O comprimento de arco é $s=r\theta$ apenas para ângulo em radiano $\theta$.
Exemplo resolvido. x²+y²-4x+6y-12=0 torna-se (x-2)²+(y+3)²=25, resultando em centro (2,-3), raio 5. Para raio 6 e ângulo central π/3, o comprimento de arco é 2π e a área do setor 6π. Um ângulo inscrito naquele mesmo arco de 60° mede 30°. Em 150°, o cosseno é -√3/2 e o seno 1/2 porque o ponto está no quadrante II.
Material de prática
Cada questão de prática abaixo declara todos os dados necessários.
Prática com raciocínio
Prática 1
Encontre o centro e o raio de $x^2+y^2-8x+2y+8=0$. O ponto $(7,-1)$ pertence a ele?
Raciocínio. Complete os quadrados para obter $(x-4)^2+(y+1)^2=9$. Centro $(4,-1)$, raio 3. A substituição de $(7,-1)$ resulta em $3^2+0^2=9$, portanto ele está na circunferência.
Prática 2
Um setor tem raio 8 cm e ângulo 135°. Encontre seu ângulo em radianos, comprimento de arco e área. Um ângulo inscrito em outro ponto da circunferência intercepta esse mesmo arco; encontre-o.
Raciocínio. $\theta=135\pi/180=3\pi/4$ radianos. $s=r\theta=(8\,\mathrm{cm})(3\pi/4)=6\pi\,\mathrm{cm}$. $A=r^2\theta/2=(8\,\mathrm{cm})^2(3\pi/4)/2=24\pi\,\mathrm{cm^2}$. O ângulo inscrito é metade do ângulo central: 67.5 graus.
Prática 3
Um ponto da circunferência unitária está no quadrante III e tem $y=-1/2$. Encontre sua coordenada $x$ e um ângulo entre 0° e 360°.
Raciocínio. $x^2+y^2=1$ fornece $x^2=3/4$. O quadrante III exige $x<0$, logo $x=-\sqrt3/2$. O ponto está em 210 graus, com ângulo de referência 30 graus.
Limites e próximo uso
Verifique unidades de graus/radianos, sinais do centro e se o ângulo é central ou inscrito antes de aplicar a fórmula.
Estas são tarefas de prática originais escritas para este curso, não questões oficiais de exame.