Escopo e pré-requisitos
Baseado no framework Digital SAT. Estas tarefas impressas não são adaptativas e não predizem uma pontuação escalonada.
- Aplicar escalonamento de comprimento, área e volume em figuras semelhantes
- Usar ângulos de linhas paralelas e somas de triângulos para encontrar incógnitas
- Distinguir semelhança de congruência e informação adequada
Pré-requisitos: Soma dos ângulos do triângulo; Pitágoras; unidades de comprimento/área/volume.
Explicar e escolher o método
Para figuras semelhantes com fator de escala k, comprimentos correspondentes escalam por k, áreas por k² e volumes por k³. Essas leis aplicam-se quando todas as dimensões correspondentes mudam juntas. Um cilindro com raio duplicado e altura fixa tem quatro vezes o volume, não oito vezes. Declare quais dimensões estão escaladas antes de escolher o expoente.
Use a medida geométrica correta: área do triângulo é metade da base vezes a altura perpendicular; volume do cilindro é área da base vezes a altura. A área superficial soma faces expostas, enquanto o volume mede espaço envolto. Um comprimento inclinado não é automaticamente a altura perpendicular exigida por uma fórmula de área. Adicione unidades quadradas ou cúbicas ao resultado.
Ângulos opostos pelo vértice são iguais. Para retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos correspondentes e alternos internos são iguais, e os ângulos internos do mesmo lado somam 180°. A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°; seu ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes. Essas regras dependem da parallelismo declarado ou marcado, não da aparência do desenho.
Triângulos semelhantes compartilham ângulos correspondentes e lados correspondentes proporcionais; triângulos congruentes também possuem comprimentos correspondentes iguais. Dois ângulos estabelecem semelhança, mas não igualdade de tamanho. Mantenha a correspondência ao escrever uma razão. Uma configuração lado-lado-ângulo não garante universalmente congruência, enquanto lado-ângulo-lado inclui o ângulo entre os dois lados.
Um fator de escala $k$ altera todos os comprimentos correspondentes. $A_2=k^2A_1$ e $V_2=k^3V_1$ para formas semelhantes. Se $k=3/2$ e $A_1=24\,\mathrm{cm^2}$, então $A_2=(3/2)^2(24\,\mathrm{cm^2})=54\,\mathrm{cm^2}$. Alterar apenas uma dimensão não justifica essas regras de semelhança.
Exemplo resolvido. Dois sólidos semelhantes têm razão de arestas 2:3, logo a razão de áreas superficiais é 4:9 e a razão de volumes é 8:27. Um jardim triangular com base 12 m e altura perpendicular 5 m tem área 30 m². Se um triângulo tem ângulos internos de 48° e 67°, seu terceiro ângulo é 65° e o ângulo externo adjacente é 115°=48°+67°.
Material de prática
Cada questão de prática abaixo declara todos os dados necessários.
Prática com raciocínio
Prática 1
Recipientes semelhantes têm áreas de superfície 96 e 216 centímetros quadrados. O volume menor é 160 centímetros cúbicos. Encontre o volume maior.
Raciocínio. $k=\sqrt{A_2/A_1}=\sqrt{216/96}=3/2$. O volume usa o cubo: $V_2=k^3V_1=(3/2)^3(160\,\mathrm{cm^3})=540\,\mathrm{cm^3}$. Usar a razão de áreas diretamente resultaria no volume errado.
Prática 2
Um triângulo retângulo tem hipotenusa 13 cm e um cateto 5 cm. Encontre o outro cateto, sua área e o seno do ângulo oposto ao cateto de 5 cm.
Raciocínio. $b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{(13\,\mathrm{cm})^2-(5\,\mathrm{cm})^2}=12\,\mathrm{cm}$. $A=ab/2=(5\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/2=30\,\mathrm{cm^2}$. $\sin\theta=a/c=(5\,\mathrm{cm})/(13\,\mathrm{cm})=5/13$.
Prática 3
Dois ângulos internos de um triângulo são 42° e 73°. Encontre o terceiro ângulo e seu ângulo externo adjacente. Esses ângulos sozinhos determinariam todos os comprimentos dos lados?
Raciocínio. O terceiro ângulo é $180-42-73=65$ graus. Seu ângulo externo adjacente é $180-65=115$ graus, também $42+73$. Os ângulos definem a forma, não a escala; triângulos semelhantes podem ter lados de tamanhos diferentes.
Prática 4
Duas retas paralelas são cortadas por uma transversal. Um dos ângulos correspondentes é 68°. Encontre seu ângulo correspondente correspondente e o ângulo adjacente na segunda reta. Explique qual condição dada justifica cada etapa.
Raciocínio. O paralelismo dá o ângulo correspondente igual 68°. O par adjacente forma um ângulo raso, logo o outro é 180°−68°=112°. Ângulos correspondentes iguais exigem as retas paralelas declaradas; a soma do ângulo raso usa a adjacência sobre uma linha. Um esboço semelhante sem paralelismo não justificaria a primeira igualdade.
Limites e próximo uso
Use k² ou k³ apenas quando a forma inteira for escalada; não inferir retas paralelas ou altura perpendicular de um esboço não marcado.
Estas são tarefas de prática originais escritas para este curso, não questões oficiais de exame.