C.10 · Diferenciação implícita e jacobiano inverso

Preparação de graduação para o GRE. Objetivos locais dentro do escopo revisado do ETS; este é ensino original, não um teste oficial ou preditor de nota.

Pré-requisitos: Regra da cadeia, inversão de matriz e hipóteses de inverso local.

• Diferencie um sistema implícito acoplado como um sistema linear
• Use um determinante jacobiano não nulo para justificar um inverso local
• Distinga derivadas parciais inversas de regras de recíproco escalar

matriz jacobiana: A matriz das derivadas parciais primeiras de um mapa vetorial.

inverso local: Um inverso definido em vizinhanças de um ponto de entrada e saída específico.

Para uma aplicação diferenciável F(u,v)=(x,y)=(f(u,v),g(u,v)), seu jacobiano é J=[[f_u,f_v],[g_u,g_v]]. Pequenas variações satisfazem [dx,dy] (transposto)=J[du,dv] (transposto) à primeira ordem. Para encontrar u_x mantendo y fixo, diferencie ambas as equações definidoras em relação a x: f_u u_x+f_v v_x=1 e g_u u_x+g_v v_x=0. Trata-se de um sistema linear acoplado, não duas regras escalares inversas independentes.

Se f e g são continuamente diferenciáveis perto do ponto e det J=f_u g_v−f_v g_u é não nulo ali, o teorema da função inversa fornece uma inversa local diferenciável. Sua derivada é J⁻¹=(1/det J)[[g_v,−f_v],[−g_u,f_u]]. Logo u_x=g_v/det J, u_y=−f_v/det J, v_x=−g_u/det J e v_y=f_u/det J. Avalie cada derivada no ponto correspondente. Uma inversa local pode não se estender a uma global.

Para equações implícitas H(u,v,x,y)=0 e K(u,v,x,y)=0, diferencie mantendo fixa a coordenada independente solicitada. Resolva [[H_u,H_v],[K_u,K_v]][u_x,v_x] (transposto)=−[H_x,K_x] (transposto). O determinante nas variáveis desconhecidas u,v deve ser não nulo para usar o teorema usual da função implícita. Os sinais à direita vêm de mover as derivadas conhecidas para o outro lado. Se o determinante for nulo, este teorema é inconclusivo; ele próprio não prova que nenhuma inversa ou solução implícita exista.

O atalho escalar du/dx=1/(dx/du) vale para uma inversa de uma variável com derivada não nula, mas geralmente falha em um sistema acoplado porque v muda para manter y fixo. Para x=u+v,y=u+2v, J=[[1,1],[1,2]] tem determinante 1 e inversa [[2,−1],[−1,1]]. Portanto u_x=2 enquanto 1/f_u=1. Um jacobiano inverso transforma sensibilidades diferenciais; uma integral por mudança de variáveis usa o valor absoluto do determinante para escalonamento de área ou volume, não uma entrada específica da inversa.

Considere x=u²+v e y=u−v. Em (u,v)=(1,0), a saída é (1,1), e J=[[2,1],[1,−1]] tem determinante −3. O inverso é [[1/3,1/3],[1/3,−2/3]], logo u_x=1/3 e v_y=−2/3 naquele ponto. Multiplicar J por este inverso dá a identidade. A recíproca 1/f_u=1/2 não é u_x porque alterar u também exige alterar v para manter y fixo.

Diferencie ambas as equações e indique qual saída é mantida fixa. Determinante não nulo garante uma inversa local sob hipóteses de regularidade; determinante nulo não é prova de impossibilidade. Use uma entrada da inversa para sensibilidades e um determinante absoluto para integração.

Seja $x=u^2+v,y=u-v$. Em $(u,v)=(1,0)$, encontre o jacobiano inverso e as quatro derivadas parciais inversas. Verifique pela multiplicação.

Solução resolvida

A saída correspondente é $(1,1)$. O jacobiano é $J=\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ com determinante -3, não nulo. Derivadas parciais contínuas fornecem uma inversa local diferenciável. Assim

Leia as linhas como (u_x,u_y) e (v_x,v_y), todos na saída (1,1). A multiplicação resulta na identidade. Em particular $u_x=1/3$, não $1/x_u=1/2$: v muda para manter y fixo.

Para $F(u,v)=(u^2-v^2,2uv)$, decida se sua derivada é invertível longe da origem e se F é globalmente injetiva no plano perfurado. O que um determinante nulo na origem estabelece por si só?

Verificar após tentar

$\det DF=4(u^2+v^2)>0$ longe de zero, logo o teorema da função inversa fornece uma inversa local em cada tal ponto. Mas $F(u,v)=F(-u,-v)$, logo não é globalmente injetiva no plano perfurado. Um determinante nulo em zero significa que este teorema não pode garantir uma inversa local diferenciável ali. Não é, por si só, uma prova geral de que nenhuma inversa set-teórica local possa existir para qualquer mapa; por exemplo, a função escalar cúbica é bijetora apesar da derivada zero em zero.