Para vetores reais não nulos u,v, u·v=|u||v| cos θ. Um produto escalar positivo, nulo ou negativo corresponde a um ângulo menor agudo, reto ou obtuso. A projeção escalar de v ao longo de u é (v·u)/|u|; sua projeção vetorial é ((v·u)/(u·u))u. A diferença entre o vetor e essa projeção é ortogonal a u. Não confunda um vetor projetado com seu componente escalar assinado. O vetor nulo é ortogonal a todo vetor, mas não possui direção angular definida.
Para vetores tridimensionais, u×v é perpendicular a ambos com comprimento |u||v| sin θ. O cálculo coordenado usa (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). Esse comprimento é a área do paralelogramo, logo um triângulo formado por dois vetores de aresta tem metade dessa área. Inverter a ordem inverte o produto vetorial, mas preserva a área. Construa ambos os vetores de aresta a partir do mesmo vértice; cruzar dois vetores de posição não relacionados geralmente mede o triângulo errado.
O plano que passa por um ponto p com normal não nula n tem equação n·(x−p)=0. A distância de q ao plano é |n·(q−p)|/|n|; o denominador normaliza a escala da equação. Um produto triplo escalar u·(v×w) dá volume signed do paralelepípedo; seu valor absoluto é o volume geométrico. Produto triplo nulo significa dependência dos três vetores borda, não necessariamente que cada par seja perpendicular ou paralelo.
Para quatro vetores planares, existem seis produtos escalares não ordenados. A configuração e₁,−e₁,e₂,−e₂ tem dois produtos negativos e quatro zeros; e₁,e₁,e₂,e₂ tem dois positivos e quatro zeros. Quatro vetores não nulos não podem ter todos os produtos escalares pares negativos. Ordene suas direções ao redor do círculo: cada lacuna angular consecutiva teria que exceder 90°, forçando a soma de quatro lacunas acima de 360°. Um vetor nulo não pode resgatar um requisito estritamente negativo, pois seus produtos escalares se anulam.
