| English | 의미 |
|---|---|
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | 일직선 상에 있는 |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | 위치 벡터 |
| parallel/ˈpærəlel/ | 병행 |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | 중점 |
점이 일직선상에 있음을 증명하기
- 세 점이 일직선상(collinear)임을 어떻게 증명할 수 있습니까?
- 첫 번째 점에서 두 번째 점으로 가는 벡터가, 두 번째 점에서 세 번째 점으로 가는 벡터의 스칼라 배수임을 보여주세요.
위치 벡터와 $\overrightarrow{AB}$
- 한 점의 위치 벡터는 원점 $O$에서 해당 점으로 가는 벡터입니다.
- $A$에서 $B$으로 가는 벡터:
$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$과 $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$이 주어진다면, $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$입니다.
벡터 기하학(vector geometry)
합력 = a + b
벡터를 결합하여 한 점에 도달합니다 — 합성 벡터(resultant) 는 직접 경로입니다.
A와 B의 위치 벡터가 각각 a와 b라면, 벡터 AB는:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
AB = (B의 위치) − (A의 위치) = b − a입니다.
A의 위치 벡터가 (1, 3), B의 위치 벡터가 (4, 7)일 때, AB의 윗성분(top component)은?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
AB = b − a: 윗수 = 4 − 1 = 3입니다.
평행 벡터와 일직선상의 점
- 두 벡터가 평행인 것은其中一个가另外一个의 스칼라 배수일 때입니다: $\mathbf{p} = k\mathbf{q}$.
- 세 점 $A, B, C$이 일직선상인 것은 $\overrightarrow{AB}$과 $\overrightarrow{BC}$가 평행 **且共享点 $B$**일 때입니다.
단순히 평행만으로는 충분하지 않습니다. 두 벡터가 평행이라도 점들이 일직선상에 있지 않을 수 있습니다 — 별개의 평행선 위에 있을 수 있습니다. 공유된 점도 필요합니다.
두 벡터가 평행하려면其中一个必须是另一个의 스칼라 배수여야 합니다.
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평행 벡터는 같은 방향(또는 반대 방향)을 향하므로,其中一个是另一个의 k배입니다.
세 점이 일직선 상에 있음을 증명하려면, 그들 사이의 벡터가 ______이고 공통된 점을 공유함을 보여주세요.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
일직선상의 점은 그들 사이에 평행한 벡터를 가지며 AND 공통된 점을 가집니다.
선분의 중점
- $M$은 $AB$의 중점입니다, 여기서 $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$과 $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$입니다.
- 중점의 위치 벡터는 두 끝점의 평균입니다.
열벡터의 크기는 피타고라스 정리를 사용하여 구합니다
M이 AB의 중점(midpoint)이라면, 위치 벡터 OM은:
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OM = a + ½(b − a) = ½(a + b)입니다.
A = (2, 4), B = (8, 10)일 때, 중점 M의 x좌표는?
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½(2 + 8) = 5.
벡터의 중요성
- 비디오 게임, 물리 엔진, GPS 모두 위치와 움직임을 추적하기 위해 벡터 수학을 사용합니다.
위치 벡터는 격자 위에서 점들을 locating하며, 이는 일직선 위에 있음(collinearity)을 증명하고 중점을 구하는 기초가 됩니다.
완전한 벡터 증명
- $\overrightarrow{OA}=\mathbf a$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf b$이고 AB의 중점이 M이라면 $\overrightarrow{OM}=(\mathbf a+\mathbf b)/2$입니다.
- C를 $\overrightarrow{OC}=2\mathbf b-\mathbf a$로 정의합니다. 그러면 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\mathbf b-\mathbf a=\overrightarrow{AB}$입니다. 동일한 벡터는 같은 방향을 가지며 B에서 만나므로, A, B, C는 일직선 위에 있으며(서로 다른 A와 B인 경우), B는 AC의 중점입니다.
A = (1,3), B = (4,7)이고 OC = 2OB − OA일 때, C의 x좌표를 구하시오.
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C = (8,14) − (1,3) = (7,11).
이해했습니다
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (끝점 - 시작점)
- 평행 벡터는 스칼라 배수입니다. 이것이 점들이 일직선 위에 있다(collinear)는 것을 보여주는 방법입니다.
- $AB$의 중점: $\;\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$