3차원에서의 피타고라스와 삼각함수학

방 안의 대각선

• 상자 안에 들어갈 수 있는 가장 긴 막대의 길이는 얼마입니까? 그것은 공간 대각선입니다 — 한 모서리에서 멀리 있는 반대쪽 모서리로 이어지는 선입니다.
• 3D 피타고라스와 삼각함수는 이를 입체 속 숨겨진 평면 삼각형으로 환원시킵니다.

전략: 입체 내부의 삼각형 찾기

• 모든 3D 문제는 2D 문제로 바뀝니다: 입체 내부에 직각삼각형을 찾아내어, 그에 대해 피타고라스나 삼각함수를 적용하십시오.
• 종종 바닥 대각선을 먼저 찾고, 높이를 추가하여 두 번째 삼각형을 만듭니다.

풀이 예제 — 상자의 대각선

• 바닥 면적이 $6\text{ cm} \times 8\text{ cm}$, 높이가 $5\text{ cm}$인 상자가 있습니다.
• 1단계 — 바닥 대각선: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
• 2단계 — 공간 대각선: $\sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 11.2\text{ cm}$.

풀이 예제 — 바닥면과의 각도

• 바닥 대각선($10$)과 높이($5$)는 직각삼각형을 이룹니다.
• $\tan\theta = \dfrac{5}{10} = 0.5$, 따라서 $\theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}$.

3D 삼각함수가 나타나는 곳

• 건축학: 지붕 기둥의 각도, 방의 대각선.
• 공학: 지지대 줄기의 길이, 크레인 팔의 각도.

3D 피타고라스는 2D 피타고라스를 두 번 적용한 것일 뿐입니다 — 먼저 바닥에, 이후 높이를 더합니다.

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