사인 및 코사인 법칙

직각삼각형이 아닌 경우

• 피타고라스 정리와 SOH-CAH-TOA는 오직 직각삼각형에만 적용됩니다.
• 그 외의 삼각형에는 사인 법칙이나 코사인 법칙이 필요합니다.

사인 법칙

• 변 $a, b, c$가 대변하는 각도 $A, B, C$인 임의의 삼각형에 대해:

• 한 변과 그 대각, 그리고 다른 하나의 정보만 알 때 사용합니다.

$y=\sin x$와 $y=\cos x$은 $-1$와 $1$ 사이를 매끄럽게 진동하며; 코사인은 사인을 $90^\circ$만큼 왼쪽으로 이동시킨 것입니다

코사인 법칙

• 두 변과 그 사이의 각(세 번째 변 구하기), 또는 세 변(각 구하기)을 알 때 사용합니다.

모든 삼각형에서 변 $a,b,c$는 각 $A,B,C$에 대해 위치하며; 사인과 코사인 법칙은 이러한 관계를 이용합니다

임의 삼각형의 면적

• 이는 모든 삼각형(직각삼각형뿐만 아님)에 적용되며, 두 변과 그 사이의 각을 사용합니다.

worked example (해설 예시)

• 변 $b = 7$, 변 $c = 8$, 사이의 각 $A = 40^{\circ}$.
• 면적 $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$, 따라서 면적은 $a = 5.2$ cm²입니다.

코사인 법칙은 피타고라스 정리를 일반화한 것으로, $A = 90^{\circ}$일 때 $\cos A = 0$이 되어 $a^2 = b^2 + c^2$가 됩니다.

각도 찾기 및 다른 가능성 확인하기

• 변 $a=5,b=7,c=8$을 사용할 때 $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$을 적용합니다. 따라서 $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$입니다.
• 사인 법칙 문제에서 $a=10,A=30^{\circ},b=12$은 $\sin B=b\sin A/a=0.6$을 줍니다. $B\approx36.9^{\circ}$과 $143.1^{\circ}$ 모두 세 번째 각도가 양수이므로 두 가지 삼각형이 가능합니다. B가 각진각이라는 추가 조건 등을 사용하여 선택하십시오.

포개진 각도를 이용한 면적

• 두 변 7 cm와 8 cm 사이에 $40^{\circ}$가 있습니다. $K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$을 사용하십시오.
• 각도는 사용된 두 변 사이에 있어야 합니다. 최종 반올림까지 도 단위 모드와 완전한 삼각함수 값을 유지하십시오.

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