| English | 의미 |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | 지수함수 증가 |
| compound/ˈkɒmpaʊnd/ | 복리 |
| decay/dɪˈkeɪ/ | 감쇠 |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | 감가상각 |
| half-life/hɑːf laɪf/ | 반감기 |
한 세균이 십억 개로 증가
- 세균은 20분마다 분열합니다. 10시간(30회 분열)이 지나면 하나의 세포가 $2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$으로 증식되어 십억을 초과합니다.
- 이것이 바로 지수 성장입니다: 각 기간마다 동일한 비율만큼 증가하여 복리가 쌓이는 현상입니다.
- 선형 성장은 고정된 양을 더하는 반면, 지수 성장은 곱해집니다. 결국 지수 성장이 압도적으로 승리합니다.
복리 공식
- 수량이 각 기간마다 동일한 백분율로 변할 때:
- $P$ = 초기값, $r$ = 기간당 백분율, $t$ = 기간 수입니다.
- 성장: $r > 0$; 감쇠: $r < 0$ (또는 아래에 있는 ⟨1⟩ 미만의 곱수 인자를 사용).
지수 성장(곡선)은 시작이 느리지만, 결국 선형 성장(직선)을 크게 따돌립니다.
복리
-money grows by (1 + r) every year, so compound interest curves above simple interest. Drag the rate and the number of years.
지수 성장 및 감소(Exponential growth & decay)
y = a·bˣ
base b를 변경하세요: b > 1 성장, 0 < b < 1 감소 — 이자와 인구 분석에 유용합니다.
자동차 가치가 매년 15%씩 감소합니다. 사용해야 하는 연간 배율은?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
15%를 잃으면 85%가 남으므로, 배율은 0.85입니다.
자동차 가치의 매년 감가는 다음 중 어떤 예인가요?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
매년 고정된 퍼센트를 잃는 것은 지수 감소(배율 < 1, 반복 적용)입니다.
복리 성장 공식은 다음과 같습니다: final = P × (1 + ______)^t, 여기서 r은 백분율 금리입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
금리 r%는 소수로 변환해야 합니다: r/100. 따라서 배율은 (1 + r/100)입니다.
지수 감쇠 및 감가상각
- 감쇠 역시 곱인자가 1 미만인 경우와 동일한 원리로 작동합니다.
- 가액 20 000인 자동차는 매년 15%씩 감가상각됩니다 → 곱수 $0.85$.
- 4년 후: $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
반감기. 방사성 동위원소는 연간 10%씩 감쇠합니다. 이 물질의 '반감기'(량 절반으로 줄어드는 데 걸리는 시간)는 $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$년이며, 이를 구하기 위해 $0.9^t = 0.5$를 풀면 됩니다.
가치가 20000인 자동차는 매년 15% 감가상각된다. 4년 뒤(10 단위로 반올림)의 가치는:
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
20000 × 0.85⁴ = 20000 × 0.5220 ≈ 10440.
worked example (해설 예시)
- 인구가 5000에서 연간 8%씩 증가합니다. 6년 후:
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
복리와 단리는 다릅니다. 연간 8%로 6년 동안 증가는 총액이 $8 \times 6 = 48\%$가 아닙니다(그렇다면 $5000 \times 1.48 = 7400$가 됩니다). 복리를 적용하면 총액은 $58.7\%$가 되며, 이는 약 11% 더 많은 금액입니다. 매年增长分本身也产生收益因此。
5000의 인구는 매년 8% 증가한다. 6년 뒤 인구(반올림하여 정수)는?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
5000 × 1.08⁶ = 5000 × 1.5869 ≈ 7934.
연간 8% 성장률이 6년간 적용되면 총 증가는 정확히 48%이다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
복리로 1.08⁶ ≈ 1.587, 즉 58.7% 증가합니다. 48%보다 많은 이유는 성장이 다시 성장을 만들기 때문입니다.
지수 성장이 나타나는 곳
- 감염병: 초기 확산은 주로 지수적이며(감염된 각 사람이 다른 사람을 감염시킴).
- 투자:複利는 돈이 지수적으로 증가하는 과정입니다.
- 기술: 무어의 법칙은 약 2년마다 컴퓨팅 성능이 두 배로 증가할 것이라고数十年간 예측했습니다.
이해했습니다
- 지수 변화는 複利 공식 $P(1 + r/100)^t$을 사용합니다.
- 성장 = 하기 수 $> 1$; 감소/감가상각 = 곱하기 수 $< 1$
- 연 15% 감소 → 곱하기 수 $0.85$; 4년 후: $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- 지수 성장은 결국 선형 성장을 항상 초월합니다—복리 효과로 성장에 다시 성장이 적용됩니다.