| English | 의미 |
|---|---|
| set/set/ | 집합 |
| elements/ˈelɪmənts/ | 원소 |
| universal set/ˌjuːnɪˈvɜːsl set/ | 전체집합 |
| empty set/ˈempti set/ | 공집합 |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | 교집합 |
| union/ˈjuːnɪən/ | 합집합 |
| complement/ˈkɒmplɪmənt/ | 보집합 |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | 벤 그림 |
2024학번
- 한 학교에 학생이 30명 있습니다. 18명은 프랑스어를, 12명은 스페인어를, 그리고 5명은 두 과목 모두를 배웁니다.
- 두 과목 모두를 배우지 않는 학생은 몇 명일까요? 단순히 더할 수 없습니다 — **집합(Set)**이 필요합니다.
- 집합은 묶음의 언어이며, 데이터베이스부터 확률론까지 모든 것을 지탱합니다.
집합이란 무엇인가?
- 집합(Set) 은 서로 다른 객체들의 모임으로, 이 객체들은 원소(Element) 또는 **멤버(Member)**라고 부릅니다.
- 괄호 { }로 표기합니다: $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
- $3 \in A$는 "$3$이 $A$의 원소이다"를 의미하며, $7 \notin A$는 "$7$는 아니다"를 의미합니다.
- 전체집합(Universal Set) $\xi$는 논의 중인 모든 것을 포함합니다. 공집합(Empty Set) $\emptyset$에는 원소가 없습니다.
$A\cap B=\{6\}$는 두 원 안의 유일한 숫자; $A\cup B$은 어느 원 안의 모든 것
벤 다이어그램(Venn diagram)에서의 집합 연산
벤 다이어그램은 두 개의 집합을 보여줍니다. 합집합, 교집합, 보집합이 어느 영역을 채우는지를 보기 위해 연산을 슬라이드해 보십시오.
빈 집합 ∅ 은 모든 집합의 부분집합(subset)입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
빈 집합은 원소가 없으므로, 모든 집합에 trivially(명백하게) 포함되어 있습니다.
교집합 및 합집합
- 교집합 $A \cap B$: 두 집합 $A$과 $B$ 모두에 포함된 원소들입니다.
- 합집합(Union) $A \cup B$: $A$ 또는 $B$에 포함된 원소(또는 그 둘 다)입니다.
- 보집(Complement) $A'$: 전체집합에 있지만 $A$에 없는 모든 것입니다.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5, 6\}$. 그러면 $A \cap B = \{3, 4\}$와 $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
A = {2,4,6,8,10}이고 B = {3,6,9}일 때, A ∩ B에는 몇 개의 원소가 있습니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
6만이 두 집합 모두에 있으므로, A ∩ B = {6}이며, 이는 1개의 원소를 가집니다.
같은 A와 B에 대해, A ∪ B에는 몇 개의 원소가 있습니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
A ∪ B = {2,3,4,6,8,9,10}이며, 이는 7개의 원소를 가집니다.
기호 ∩의 의미:
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
∩는 교집합(A와 B 모두에 있는 원소)이며, ∪는 합집합입니다.
벤 다이어그램
- **벤 다이어그램(Venn Diagram)**은 집합을 직사각형(전체집합) 내부의 겹치는 원으로 그려서 표현합니다.
- 겹치는 영역 = 교집합; 원 안의 모든 것 = 해당 집합의 멤버입니다.
벤 다이어그램은 집합 간의 관계를 보여줍니다 — 여기서는 모든 자연수는 또한 정수이자 유리수입니다.
중복 세지 않기. $n(A \cup B)$를 구할 때는 $n(A) + n(B) - n(A \cap B)$을 사용하세요. 교집합은 각 집합에서 한 번씩 세어지므로 한 번 빼주어야 합니다.
worked example (해설 예시)
- 30명의 학생, $F =$ 프랑스어(18명), $S =$ 스페인어(12명), $F \cap S = 5$.
- $n(F \cup S) = 18 + 12 - 5 = 25$.
- Neither $= 30 - 25 = 5$ 학생은 어떤 언어도 배우지 않습니다.
n(A) = 5, n(B) = 3, n(A B) = 1일 때, n(A ∪ B)를 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 5 + 3 − 1 = 7.
학급 학생 30명 중 18명은 프랑스어를, 12명은 스페인어를, 5명은 두 과목을 모두 수강합니다. 두 과목 모두 수강하지 않는 학생은 몇 명입니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
n(F ∪ S) = 18 + 12 − 5 = 25. neither = 30 − 25 = 5.
세 개의 집합 (확장)
- 세 집합 벤 다이어그램에서 먼저 삼중 교집합을 채운 뒤, 정확히 두 집합에만 해당하는 부분을, 마지막으로 단일 집합 영역을 채우십시오. $n(A\cap B)=7$이 2을 모든 세 집합에 포함한다면 AB-only 영역은 $7-2=5$입니다.
- $n(A)=12,n(B)=10,n(C)=9$의 경우, 쌍 교집합 AB=4, AC=3, BC=2 및 삼중 교집합=1일 때, 합집합은 $n(A\cup B\cup C)=12+10+9-4-3-2+1=23$입니다. 삼중 교집합은 세 쌍의 차감 과정에서 너무 많이 제거되었으므로 다시 더해야 합니다.
집합의 크기는 12,10,9; 쌍교집합의 크기는 4,3,2; 삼중교집합의 크기는 1이다. 합집합의 크기를 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
단일 집합을 더하고 모든 쌍교집합을 빼며 삼중교집합을 더한다: 31−9+1 = 23.
이해했습니다
- $A \cap B$ = 교집합 (둘 다); $A \cup B$ = 합집합 (either or both, 하나 또는 둘 다); $A'$ = 보집
- $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ — 겹치는 부분을 뺍니다
- 벤 다이어그램은 집합 관계를 시각적으로 보여주며, 직사각형은 전체집합입니다
- $\emptyset$ = 공집합; $\xi$ = 전체집합